Considerando a seguinte função de transferência analógica, encontre:
F(s)=s^2+2 s-3(s+4)(s+12)(s+2)
f(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de transferência analógica dada por:
F(s)=s^2+2 s-3(s+4)(s+12)(s+2)
O que a gente quer é encontrar a função no tempo, . Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace inversa. Primeiro, precisamos decompor em frações parciais para facilitar a aplicação das transformadas inversas. Vamos precisar entender de álgebra para realizar a decomposição e depois aplicar tabelas de Transformada de Laplace inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever s^2+2 s-3(s+4)(s+12)(s+2) = As+4 + Bs+12 + Cs+2 como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes , e tais que:
Isso facilita a inversão porque cada termo na direita tem uma forma padrão cuja transformada inversa a gente já conhece.

Passo 3

Para encontrar s^2 + 2s - 3 = A(s+12)(s+2) + B(s+4)(s+2) + C(s+4)(s+12) , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum . Assim, temos:
Agora, precisamos escolher valores de que simplifiquem a equação para encontrar cada constante.

Passo 4

Vamos substituir valores de (-4)^2 + 2(-4) - 3 = A(-4+12)(-4+2) que anulam os denominadores para achar 16 - 8 - 3 = A(-72)(-2) , 5 = A cdot 7 e A = 57 :
  • Para encontrar (-12)^2 + 2(-12) - 3 = B(-12+4)(-12+2) , escolhemos 14 -1 -3 = B(72)(32) :
-3.75 = B cdot 214
B = -3.75 times 421 = -1521 = -57
(-2)^2 + 2(-2) - 3 = C(-2+4)(-2+12)
4 -4 -3 = C(2)(-32)
  • Para encontrar -3 = C cdot (-3) , escolhemos C = 1 :
  • Para encontrar , escolhemos :

Passo 5

Agora que temos F(s) = 5/7s+4 + -5/7s+12 + 1s+2 , F(s) = 57cdot1s+4 - 57cdot1s+12 + 1s+2 e , podemos reescrever com as frações parciais:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s+a = e^-a t
Então, aplicando isso a cada termo:
  • Para 57 e^-4 t :
-57 e^-12 t
  • Para e^-2 t :
  • Para :

Passo 7

Juntando todos os termos, a função no tempo f(t) = 57 e^-4 t - 57 e^-12 t + e^-2 t fica:

Resposta

A função no tempo é:
f(t) = 57 e^-4 t - 57 e^-12 t + e^-2 t

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