Considerando a seguinte função de transferência analógica, encontre:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de transferência analógica dada por:
O que a gente quer é encontrar a função no tempo,
. Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace inversa. Primeiro, precisamos decompor
em frações parciais para facilitar a aplicação das transformadas inversas. Vamos precisar entender de álgebra para realizar a decomposição e depois aplicar tabelas de Transformada de Laplace inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Isso facilita a inversão porque cada termo na direita tem uma forma padrão cuja transformada inversa a gente já conhece.
Passo 3
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
. Assim, temos:
Agora, precisamos escolher valores de
que simplifiquem a equação para encontrar cada constante.
Passo 4
Vamos substituir valores de
que anulam os denominadores para achar
,
e
:
- Para encontrar
, escolhemos :
- Para encontrar
, escolhemos :
- Para encontrar
, escolhemos :
Passo 5
Agora que temos
,
e
, podemos reescrever
com as frações parciais:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
Então, aplicando isso a cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Juntando todos os termos, a função no tempo
fica:
Resposta
A função no tempo é: