Se T é o tempo de espera da segunda pessoa na fila, encontre a função densidade de probabilidade de T. Em seguida calcule E[T] e Var[T].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a função densidade de probabilidade do tempo de espera da segunda pessoa na fila, que vamos chamar de . Além disso, precisamos calcular a expectativa e a variância desse tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Variáveis Aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função densidade de probabilidade (FDP). A FDP nos diz a probabilidade de a variável aleatória fX(x) = lambda e^-lambda x, x >= 0 assumir valores dentro de certos intervalos. Como estamos falando da espera na fila, vamos supor que o tempo entre a chegada das pessoas segue uma distribuição Exponencial, que é comum para modelar tempos de espera.
A distribuição Exponencial tem a seguinte função densidade:
Onde é a taxa de chegada.

Passo 3

Como estamos interessados no tempo de espera da segunda pessoa, fT(t) = lambda^2 t e^-lambda t, t >= 0 , isso significa que é a soma de dois tempos de espera independentes, cada um seguindo a distribuição Exponencial com taxa .
Quando somamos duas variáveis aleatórias exponenciais com a mesma taxa, a resultante segue uma distribuição Erlang de parâmetro e . A função densidade da distribuição Erlang é:

Passo 4

Agora que temos a função densidade de E[T] = klambda , vamos calcular a expectativa Var[T] = klambda^2 e a variância E[T] = 2lambda .
Para a distribuição Erlang com parâmetros Var[T] = 2lambda^2 e :
Substituindo :

Resposta

A função densidade de probabilidade do tempo de espera da segunda pessoa na fila é:
fT(t) = lambda^2 t e^-lambda t, t >= 0
Além disso, a expectativa e a variância de E[T] = 2lambda são:
Var[T] = 2lambda^2

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