Se T é o tempo de espera da segunda pessoa na fila, encontre a função densidade de probabilidade de T. Em seguida calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a função densidade de probabilidade do tempo de espera da segunda pessoa na fila, que vamos chamar de
. Além disso, precisamos calcular a expectativa
e a variância
desse tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Variáveis Aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função densidade de probabilidade (FDP). A FDP nos diz a probabilidade de a variável aleatória
assumir valores dentro de certos intervalos. Como estamos falando da espera na fila, vamos supor que o tempo entre a chegada das pessoas segue uma distribuição Exponencial, que é comum para modelar tempos de espera.
A distribuição Exponencial tem a seguinte função densidade:
Onde
é a taxa de chegada.
Passo 3
Como estamos interessados no tempo de espera da segunda pessoa,
, isso significa que
é a soma de dois tempos de espera independentes, cada um seguindo a distribuição Exponencial com taxa
.
Quando somamos duas variáveis aleatórias exponenciais com a mesma taxa, a resultante segue uma distribuição Erlang de parâmetro
e
. A função densidade da distribuição Erlang é:
Passo 4
Agora que temos a função densidade de
, vamos calcular a expectativa
e a variância
.
Para a distribuição Erlang com parâmetros
e
:
Substituindo
:
Resposta
A função densidade de probabilidade do tempo de espera da segunda pessoa na fila é:
Além disso, a expectativa e a variância de
são:
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.
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