A tabela a seguir dá o número y de bactérias por unidade de volume presentes em uma cultura ao cabo de x horas. (d) Estime o valor de y para x=7.
Número de horas (x) 0 1 2 3 4 5 6
Número de bactérias <br> por unidade de <br> volume (y) 32 47 65 92 132 190 275

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá uma tabela mostrando quantas bactérias existem por unidade de volume em uma cultura após certo número de horas. Nosso objetivo aqui é estimar quantas bactérias teremos por unidade de volume após 7 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento populacional e extrapolação de dados. Vamos precisar olhar para como os números de bactérias aumentam a cada hora e tentar identificar um padrão para fazer nossa estimativa.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os dados que temos:
Número de horas (x) 0 1 2 3 4 5 6
Número de bactérias (y) 32 47 65 92 132 190 275
Vemos que a quantidade de bactérias está aumentando com o tempo. Nosso objetivo é descobrir como esse aumento acontece para prever o valor em x=7.

Passo 3

Vamos calcular quanto as bactérias aumentam a cada hora. Isso nos dará uma ideia do crescimento absoluto.
  • De 0 para 1 hora: 47 - 32 = 15 bactérias
  • De 1 para 2 horas: 65 - 47 = 18 bactérias
  • De 2 para 3 horas: 92 - 65 = 27 bactérias
  • De 3 para 4 horas: 132 - 92 = 40 bactérias
  • De 4 para 5 horas: 190 - 132 = 58 bactérias
  • De 5 para 6 horas: 275 - 190 = 85 bactérias
Vemos que o aumento não é constante; ele está crescendo a cada hora. Isso indica um crescimento exponencial, onde a quantidade aumenta por um fator multiplicativo a cada período de tempo.

Passo 4

Para estimar y para x=7, vamos analisar a taxa de crescimento. Uma maneira simples é calcular a taxa média de crescimento e aplicá-la ao último valor conhecido.
Vamos calcular a taxa de crescimento entre cada hora:
  • De 0 para 1 hora: 47 / 32 ≈ 1,47
  • De 1 para 2 horas: 65 / 47 ≈ 1,38
  • De 2 para 3 horas: 92 / 65 ≈ 1,42
  • De 3 para 4 horas: 132 / 92 ≈ 1,43
  • De 4 para 5 horas: 190 / 132 ≈ 1,44
  • De 5 para 6 horas: 275 / 190 ≈ 1,45
A média dessas taxas é aproximadamente 1,43. Isso significa que, em média, o número de bactérias multiplica por 1,43 a cada hora.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa taxa média ao último valor conhecido para estimar y em x=7:
y7 = y6 times taxa média é
y7 = 275 times 1,43
y7 ≈ 275 times 1,43 ≈ 393

Resposta

Portanto, estimamos que após 7 horas, haverá aproximadamente 393 bactérias por unidade de volume na cultura.

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