A tábua é usada como uma trave de assoalho simplesmente apoiada. Se o momento fletor M=1,2 kN.m for aplicado a 3° em relação ao eixo z, determine a tensão desenvolvida na tábua do canto A. Compare essa tensão com a desenvolvida pelo mesmo momento aplicado ao longo do eixo z ( =0°). Qual é o ângulo para o eixo neutro quando =3°?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de mecânica dos materiais, especificamente de vigas submetidas a momentos fletores. Temos uma tábua usada como uma trave de assoalho que está simplesmente apoiada. Um momento fletor $ M = 1,2 , kN.m $ é aplicado a um ângulo de $ 3° $ em relação ao eixo $ z $. Precisamos determinar a tensão desenvolvida na tábua no ponto A, comparar essa tensão com quando o momento é aplicado ao longo do eixo $ z $ (ângulo $ \theta = 0° $) e encontrar o ângulo do eixo neutro quando $ \theta = 3° $.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como momento fletor, tensão de flexão, e a orientação do eixo neutro em vigas submetidas a momentos inclinados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula básica para a tensão de flexão em uma viga. A tensão $ \sigma $ em um ponto distante $ y $ do eixo neutro é dada por:
onde:
- $ M $ é o momento fletor,
- $ y $ é a distância do ponto ao eixo neutro,
- $ I $ é o momento de inércia da seção transversal.
No nosso caso, o momento está aplicado a um ângulo $ \theta $ em relação ao eixo $ z $. Quando o momento está inclinado, ele pode causar tensão em duas direções principais: uma na direção do eixo $ z $ e outra perpendicular a ele.
Passo 3
Para um momento aplicado a um ângulo $ \theta $, podemos decompor o momento em componentes ao longo dos eixos principais. As componentes do momento $ M $ são:
Aqui, $ M_z $ é o momento ao longo do eixo $ z $ e $ M_x $ é o momento perpendicular a $ z $.
Passo 4
Agora, vamos calcular as tensões correspondentes a cada componente do momento. Usando a fórmula da tensão de flexão:
Para $ M_z $:
Para $ M_x $:
Estas tensões atuam perpendicularmente a cada eixo respectivo.
Passo 5
A tensão total na direção considerada pode ser obtida combinando as tensões $ \sigma_z $ e $ \sigma_x $. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:
Substituindo as expressões das tensões:
Simplificando:
Interessante! Notamos que a tensão total depende apenas do momento fletor $ M $ e não do ângulo $ \theta $.
Passo 6
No entanto, o eixo neutro pode não estar alinhado com os eixos principais quando o momento está inclinado. O ângulo do eixo neutro $ \phi $ em relação ao eixo $ z $ é dado por:
Como não temos torque de cisalhamento $ \tau_{xz} $ no nosso caso, o eixo neutro permanece alinhado com os eixos principais. Portanto, mesmo com $ \theta = 3° $, o eixo neutro não muda sua orientação.
Resposta
A tensão desenvolvida na tábua no ponto A é $ \sigma = \frac{M \cdot y}{I} $, independentemente do ângulo $ \theta $. Quando o momento é aplicado ao longo do eixo $ z $ ($ \theta = 0° $) ou a $ 3° $, a tensão calculada permanece a mesma. Além disso, o eixo neutro permanece alinhado com o eixo $ z $ mesmo quando $ \theta = 3° $.