Um tanque de água, na forma de um cone conforme a figura, inicialmente cheio, está com um vazamento de 35 cm^3/s. O raio da base do tanque é 1 m e sua altura é 2,5 m. Quando a profundidade da áqua no tanque é 1,25 m :
b) Qual é a taxa de variação do raio do topo da água?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque em forma de cone que está vazando água a uma taxa de . As dimensões do tanque são: raio da base e altura . Queremos descobrir qual é a taxa de variação do raio da superfície da água ( ) quando a altura da água ( ) é . Para isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas da matemática, que nos permite relacionar a mudança de uma variável com a mudança de outra.

Passo 2

Primeiro, precisamos estabelecer uma relação entre o raio da água e a altura . Como o tanque é um cone, as proporções se mantêm constantes. Ou seja:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 3

Agora, vamos expressar o volume da água em função da altura . A fórmula do volume de um cone é:
Substituindo :

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação do raio , precisamos relacionar a taxa de variação do volume com a taxa de variação da altura . Vamos derivar a equação do volume em relação ao tempo :

Passo 5

Sabemos que . Vamos converter isso para metros cúbicos por segundo:
Agora, substituímos os valores na equação derivada:

Passo 6

Resolvendo para :
Calculando os valores:

Passo 7

Agora, queremos a taxa de variação do raio . Sabemos que . Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Substituindo :

Resposta

A taxa de variação do raio da superfície da água é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Para cada item a seguir, determine y', usando derivação implícita:
e) sen(x/y) + x^3 = 2 - y^4.
Derive as seguintes funções:
s) B(r) = (e^(sen(r)) - sen(e^(r)))^8.
- 0 A) Encaminhada
(i) Fixar 『 Apagar