Um tanque de água, na forma de um cone conforme a figura, inicialmente cheio, está com um vazamento de
. O raio da base do tanque é 1 m e sua altura é
. Quando a profundidade da áqua no tanque é
:
b) Qual é a taxa de variação do raio do topo da água?
b) Qual é a taxa de variação do raio do topo da água?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque em forma de cone que está vazando água a uma taxa de
. As dimensões do tanque são: raio da base
e altura
. Queremos descobrir qual é a taxa de variação do raio da superfície da água (
) quando a altura da água (
) é
. Para isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas da matemática, que nos permite relacionar a mudança de uma variável com a mudança de outra.
Passo 2
Primeiro, precisamos estabelecer uma relação entre o raio da água
e a altura
. Como o tanque é um cone, as proporções se mantêm constantes. Ou seja:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 3
Agora, vamos expressar o volume da água
em função da altura
. A fórmula do volume de um cone é:
Substituindo
:
Passo 4
Para encontrar a taxa de variação do raio
, precisamos relacionar a taxa de variação do volume
com a taxa de variação da altura
. Vamos derivar a equação do volume em relação ao tempo
:
Passo 5
Sabemos que
. Vamos converter isso para metros cúbicos por segundo:
Agora, substituímos os valores na equação derivada:
Passo 6
Resolvendo para
:
Calculando os valores:
Passo 7
Agora, queremos a taxa de variação do raio
. Sabemos que
. Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Substituindo
:
Resposta
A taxa de variação do raio da superfície da água é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Para cada item a seguir, determine
, usando derivação implícita:
e) .
e)
Derive as seguintes funções:
s) .
s)
- 0
A) Encaminhada
(i)
Fixar
『
Apagar