Para cada item a seguir, determine y', usando derivação implícita:
e) sen(x/y) + x^3 = 2 - y^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação e pede para encontrarmos , que é a derivada de y em relação a x, usando derivação implícita. A derivação implícita é útil quando y não está isolado e ambas as variáveis estão misturadas na equação. Para resolvermos isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas e polinômicas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então sempre que derivarmos algo que envolva y, precisamos multiplicar pela (regra da cadeia).
Derivando :
Agora, derivamos usando a regra do quociente:
Então, a derivada completa de fica:
Derivando x^3:
Derivando o lado direito :

Passo 3

Colocando tudo junto, a equação derivada fica:
Agora, nosso objetivo é isolar o . Vamos distribuir a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos reunir os termos com de um lado:
Factorizando :
Isolando :
Podemos simplificar os sinais:

Resposta

A derivada é:

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