Para cada item a seguir, determine , usando derivação implícita:
e) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação e pede para encontrarmos , que é a derivada de em relação a , usando derivação implícita. A derivação implícita é útil quando não está isolado e ambas as variáveis estão misturadas na equação. Para resolvermos isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas e polinômicas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então sempre que derivarmos algo que envolva , precisamos multiplicar pela (regra da cadeia).
Derivando :
Agora, derivamos usando a regra do quociente:
Então, a derivada completa de fica:
Derivando :
Derivando o lado direito :
Passo 3
Colocando tudo junto, a equação derivada fica:
Agora, nosso objetivo é isolar o . Vamos distribuir a :