Um tanque de armazenamento de metal com volume V=375 deve ser construído com a forma de um cilindro circular reto com um hemisfério acoplado ao topo do cilindro. Determine menor quantidade de metal, isto é, obtenha a menor área possível para se construir esse tanque com o volume estabelecido. Escreva na lacuna abaixo sua resposta com duas casas decimais. Use pi = 3.14.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos que construir um tanque com formato de cilindro com um hemisfério no topo. O volume total desse tanque deve ser . Nosso objetivo aqui é descobrir qual a menor área possível de metal necessária para construir esse tanque. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de volume e área de cilindros e hemisférios, além de um pouco de cálculo para minimizar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o volume do tanque. O tanque é composto por um cilindro e um hemisfério. A fórmula do volume do cilindro é:
E a do hemisfério é metade da de uma esfera:
é
Como o volume total é 375, temos:
Vamos simplificar essa equação para relacionar e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a área total de metal necessária. A área do cilindro é a área lateral mais a base, mas como o hemisfério já cobre o topo, não precisamos da base do cilindro. A área do hemisfério é metade da área da esfera:
é
Então, a área total é:
Substituindo da equação anterior:
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar a menor área, precisamos derivar em relação a e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora que temos , vamos encontrar usando a equação que relaciona e :
Substituindo :
Calculando:

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula da área total para encontrar a menor quantidade de metal:
Calculando:

Resposta

A menor quantidade de metal necessária para construir o tanque é aproximadamente 199,59 unidades de área.

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