Um tanque de armazenamento de metal com volume
deve ser construído com a forma de um cilindro circular reto com um hemisfério acoplado ao topo do cilindro. Determine menor quantidade de metal, isto é, obtenha a menor área possível para se construir esse tanque com o volume estabelecido. Escreva na lacuna abaixo sua resposta com duas casas decimais. Use
.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos que construir um tanque com formato de cilindro com um hemisfério no topo. O volume total desse tanque deve ser
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a menor área possível de metal necessária para construir esse tanque. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de volume e área de cilindros e hemisférios, além de um pouco de cálculo para minimizar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o volume do tanque. O tanque é composto por um cilindro e um hemisfério. A fórmula do volume do cilindro é:
E a do hemisfério é metade da de uma esfera:
Como o volume total é 375, temos:
Vamos simplificar essa equação para relacionar
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área total de metal necessária. A área do cilindro é a área lateral mais a base, mas como o hemisfério já cobre o topo, não precisamos da base do cilindro. A área do hemisfério é metade da área da esfera:
Então, a área total
é:
Substituindo
da equação anterior:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar a menor área, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a equação que relaciona
e
:
Substituindo
:
Calculando:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula da área total para encontrar a menor quantidade de metal:
Calculando:
Resposta
A menor quantidade de metal necessária para construir o tanque é aproximadamente 199,59 unidades de área.