Um tanque de armazenamento de um produto químico utilizado como matéria-prima em uma empresa tem o volume representado por uma função trigonométrica (seno ou cosseno). Assim, o ciclo do volume do tanque é composto por redução e preenchimento. O gráfico a seguir mostra o volume do tanque em milhares de litros variando em função do número de horas t. Considere que t = 0 representa o início do ciclo do volume do tanque, de forma que nesse instante o volume é máximo. A amplitude e o período (ciclo completo) da função trigonométrica descrita pelo gráfico são, respectivamente: Escolha uma:
a. 170 mil litros e 12 horas.
b. 170 mil litros e 24 horas.
c. 110 mil litros e 48 horas.
d. 60 mil litros e 24 horas.
e. 60 mil litros e 12 horas.
a. 170 mil litros e 12 horas.
b. 170 mil litros e 24 horas.
c. 110 mil litros e 48 horas.
d. 60 mil litros e 24 horas.
e. 60 mil litros e 12 horas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque que armazena um produto químico, e o volume desse tanque varia ao longo do tempo seguindo uma função trigonométrica, tipo seno ou cosseno. A gente sabe que no tempo $ t = 0 $ horas, o volume está no máximo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a amplitude dessa função e quanto tempo leva para completar um ciclo completo, ou seja, o período. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e como elas modelam essas variações.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre amplitude. A amplitude de uma função trigonométrica, como o seno ou o cosseno, representa o quanto a função oscila acima e abaixo do valor médio. No contexto do volume do tanque, a amplitude nos mostra o quanto o volume varia em relação ao valor médio durante o ciclo.
Passo 3
Agora, sobre o período. O período é o tempo que a função leva para completar um ciclo completo de variação. No nosso caso, é o tempo que o volume do tanque leva para ir do máximo ao mínimo e voltar ao máximo novamente.
Passo 4
Sabemos que no instante $ t = 0 $, o volume é máximo. Isso sugere que a função que descreve o volume é uma função do tipo cosseno, já que o cosseno começa no valor máximo quando $ t = 0 $.
Passo 5
Para encontrar a amplitude, precisamos identificar quanto o volume varia em relação ao valor médio. Se considerarmos que o volume máximo é $ V_{max} $ e o volume mínimo é $ V_{min} $, então a amplitude $ A $ é dada por:
Infelizmente, sem o gráfico, não temos os valores exatos de $ V_{max} $ e $ V_{min} $, mas vamos usar as opções oferecidas para determinar a resposta correta.
Passo 6
Analisando as opções:
- A amplitude parece ser 170 mil, 110 mil ou 60 mil litros.
- O período pode ser 12, 24 ou 48 horas.
Como o ciclo completo inclui redução e preenchimento, e considerando que a maioria dos processos industriais trabalha em ciclos de 24 horas (um dia), é razoável supor que o período seja de 24 horas.
Passo 7
Agora, verificando as opções que têm período de 24 horas:
- Opção b: 170 mil litros e 24 horas.
- Opção d: 60 mil litros e 24 horas.
Dentre essas, a amplitude de 170 mil litros parece mais compatível para um tanque de armazenamento industrial, que geralmente lida com grandes volumes.
Resposta
b. 170 mil litros e 24 horas.