Um tanque de 0,5 m^3 contém ar comprimido. Uma válvula é aberta e o ar escapa com velocidade de 300 m / s através de uma abertura de 130 mm^2 de área. A temperatura do ar passando pela abertura é - 15 ^circ C e a pressão absoluta é 350 kPa . Determine a taxa de variação da densidade do ar no tanque nesse momento. R: -0,341(kg / m^3) / s

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tanque com volume de 0,5 m^3 que contém ar comprimido. Uma válvula é aberta, e o ar escapa com uma velocidade de 300 m/s através de uma abertura de área 130 mm^2. A temperatura do ar que está escapando é -15^circ C e a pressão absoluta é de 350 kPa. A pergunta é: qual é a taxa de variação da densidade do ar no tanque nesse momento?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica e mecânica dos fluidos, especificamente a equação de continuidade para fluxo de massa e a equação dos gases ideais para relacionar pressão, volume e densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos.
  • Área da abertura: 130 mm^2 = 130 times 10^-6 m^2
  • Temperatura: -15^circ C = 258,15 K (somamos 273,15 para converter para Kelvin)

Passo 3

Vamos usar a equação dos gases ideais para encontrar a densidade do ar no tanque. A equação é:
PV = mRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • m é a massa,
  • R é a constante dos gases ( R = 287 J/(kg cdot K) para o ar),
  • T é a temperatura.
Primeiro, rearranjamos a equação para encontrar a densidade ( rho):
rho = mV = PRT

Passo 4

Vamos calcular a densidade inicial do ar no tanque:
rho = 350 times 10^3 Pa287 J/(kg cdot K) times 258,15 K approx 4,73 kg/m^3

Passo 5

Agora, vamos determinar a taxa de perda de massa do ar que está escapando pela abertura. A taxa de fluxo de massa ( dotm) é dada por:
dotm = rho v A
Onde:
  • v é a velocidade do ar escapando,
  • A é a área da abertura.
Substituindo os valores:
dotm = 4,73 kg/m^3 times 300 m/s times 130 times 10^-6 m^2 approx 0,184 kg/s

Passo 6

A taxa de variação da densidade no tanque ( drhodt) está relacionada à taxa de perda de massa pela relação:
drhodt = -dotmV
Substituindo os valores:
drhodt = -0,184 kg/s0,5 m^3 = -0,368 kg/(m^3 cdot s)

Resposta

A taxa de variação da densidade do ar no tanque nesse momento é aproximadamente -0,368 (kg/m^3)/s.

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