Um tanque de
contém ar comprimido. Uma válvula é aberta e o ar escapa com velocidade de
através de uma abertura de
de área. A temperatura do ar passando pela abertura é -
e a pressão absoluta é 350 kPa . Determine a taxa de variação da densidade do ar no tanque nesse momento. R:
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tanque com volume de
que contém ar comprimido. Uma válvula é aberta, e o ar escapa com uma velocidade de
através de uma abertura de área
. A temperatura do ar que está escapando é
e a pressão absoluta é de
. A pergunta é: qual é a taxa de variação da densidade do ar no tanque nesse momento?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica e mecânica dos fluidos, especificamente a equação de continuidade para fluxo de massa e a equação dos gases ideais para relacionar pressão, volume e densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos.
- Área da abertura:
- Temperatura:
(somamos 273,15 para converter para Kelvin)
Passo 3
Vamos usar a equação dos gases ideais para encontrar a densidade do ar no tanque. A equação é:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a massa, -
é a constante dos gases ( para o ar), -
é a temperatura.
Primeiro, rearranjamos a equação para encontrar a densidade (
):
Passo 4
Vamos calcular a densidade inicial do ar no tanque:
Passo 5
Agora, vamos determinar a taxa de perda de massa do ar que está escapando pela abertura. A taxa de fluxo de massa (
) é dada por:
Onde:
-
é a velocidade do ar escapando, -
é a área da abertura.
Substituindo os valores:
Passo 6
A taxa de variação da densidade no tanque (
) está relacionada à taxa de perda de massa pela relação:
Substituindo os valores:
Resposta
A taxa de variação da densidade do ar no tanque nesse momento é aproximadamente
.