Um tanque esférico é preenchido com água à uma vazão constante. Determine uma expressão da variação do raio com o tempo à medida que o tanque é preenchido.
d R d t = 4 π R 2 ⋅ d V d t .
d R d t = 1 π R 2 ⋅ d V d t .
d R d t = 1 4 π R 2 ⋅ d V d t .
d R d t = 1 4 π R 3 ⋅ d V d t .
d R d t = 4 π R 2 ⋅ d V d t
d R d t = 4 π R 2 ⋅ d V d t .
d R d t = 1 π R 2 ⋅ d V d t .
d R d t = 1 4 π R 2 ⋅ d V d t .
d R d t = 1 4 π R 3 ⋅ d V d t .
d R d t = 4 π R 2 ⋅ d V d t
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um tanque esférico que está sendo cheio de água com uma vazão constante. Nosso objetivo é descobrir como o raio do tanque, que chamaremos de $ R $, muda ao longo do tempo conforme a água é adicionada. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, e a fórmula do volume de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o volume $ V $ de uma esfera. A fórmula é:
Aqui, $ \pi $ é uma constante (aproximadamente 3,14) e $ R $ é o raio da esfera.
Passo 3
Agora, queremos saber como o raio $ R $ muda com o tempo, ou seja, queremos encontrar $ \frac{dR}{dt} $. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo $ t $. Fazendo isso, temos:
Passo 4
Aplicando a regra da derivada, sabemos que a derivada de $ R^3 $ em relação a $ t $ é $ 3R^2 \frac{dR}{dt} $. Então:
Os 3 no numerador e no denominador se cancelam:
Passo 5
Agora, queremos isolar $ \frac{dR}{dt} $ para encontrar a expressão da variação do raio com o tempo. Vamos rearranjar a equação:
Resposta
A variação do raio com o tempo é dada por: