Um tanque esférico é preenchido com água à uma vazão constante. Determine uma expressão da variação do raio com o tempo à medida que o tanque é preenchido.
d R d t = 4 π R 2 ⋅ d V d t .
d R d t = 1 π R 2 ⋅ d V d t .
d R d t = 1 4 π R 2 ⋅ d V d t .
d R d t = 1 4 π R 3 ⋅ d V d t .
d R d t = 4 π R 2 ⋅ d V d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um tanque esférico que está sendo cheio de água com uma vazão constante. Nosso objetivo é descobrir como o raio do tanque, que chamaremos de $ R $, muda ao longo do tempo conforme a água é adicionada. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, e a fórmula do volume de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o volume $ V $ de uma esfera. A fórmula é:
V
Aqui, $ \pi $ é uma constante (aproximadamente 3,14) e $ R $ é o raio da esfera.

Passo 3

Agora, queremos saber como o raio $ R $ muda com o tempo, ou seja, queremos encontrar $ \frac{dR}{dt} $. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo $ t $. Fazendo isso, temos:
R

Passo 4

Aplicando a regra da derivada, sabemos que a derivada de $ R^3 $ em relação a $ t $ é $ 3R^2 \frac{dR}{dt} $. Então:
R^3
Os 3 no numerador e no denominador se cancelam:
t

Passo 5

Agora, queremos isolar $ \frac{dR}{dt} $ para encontrar a expressão da variação do raio com o tempo. Vamos rearranjar a equação:
dRdt

Resposta

A variação do raio com o tempo é dada por:
dRdt = 14 pi R^2 cdot dVdt

Exercícios relacionados