Um tanque fechado contém ar comprimido e um óleo que apresenta densidade (dóleo = 0,9). O fluido utilizado no manômetro em “U” conectado ao tanque é mercúrio (densidade dHg = 13,6). Se h1 = 914 mm, h2 = 152 mm e h3 = 229 mm, determine a leitura do manômetro localizado no topo do tanque.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e quais são os conceitos que vamos usar. A gente tem um tanque fechado contendo ar comprimido e óleo com densidade $ d_{óleo} = 0,9 , g/cm^3 $. Esse tanque está conectado a um manômetro em “U” que usa mercúrio como fluido, com densidade $ d_{Hg} = 13,6 , g/cm^3 $. As alturas medidas no manômetro são $ h_1 = 914 , mm $, $ h_2 = 152 , mm $ e $ h_3 = 229 , mm $. O nosso objetivo é determinar a leitura do manômetro no topo do tanque.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos de estática dos fluidos, especialmente como a pressão se equilibra em diferentes pontos de um sistema conectado por um manômetro. Também vamos utilizar a relação entre alturas de diferentes fluidos para encontrar a pressão no topo do tanque.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o manômetro está configurado. Num manômetro em “U”, a pressão no líquido do tanque se equilibra com a pressão no líquido do manômetro. Como temos dois fluidos diferentes (óleo e mercúrio), precisamos considerar as alturas e densidades de cada um para encontrar a pressão total.
A equação básica que relaciona as pressões é:
Ptanque = Pmanômetro ô
Onde:
Ptanque = Par + Pó<=o ó
Pmanômetro = PHg ô
Aqui, $ P_{ar} $ é a pressão do ar comprimido no tanque, $ P_{óleo} $ é a pressão devido à coluna de óleo, e $ P_{Hg} $ é a pressão devido à coluna de mercúrio no manômetro.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas pressões separadamente. A pressão devido a uma coluna de líquido é dada pela fórmula:
P = rho cdot g cdot h
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do líquido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (podemos usar $ 9,81 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a altura da coluna de líquido.
Primeiro, vamos calcular a pressão do óleo no tanque:
rho óó
Convertendo a densidade do óleo para $ kg/m^3 $:
g ó
Agora, substituindo os valores:
9,81 , m/s^2 ó

Passo 4

Calculando $ P_{óleo} $:
Pó<=o ó
Agora, vamos calcular a pressão exercida pela coluna de mercúrio no manômetro. A altura total da coluna de mercúrio é a soma de $ h_1 + h_3 $:
Pó<=o = 900 times 9,81 times 0,152 approx 1343,208 , Pa
Convertendo a densidade de mercúrio para $ kg/m^3 $:
h1 + h3
Agora, calculamos $ P_{Hg} $:
htotal = h1 + h3 = 914 , mm + 229 , mm = 1143 , mm = 1,143 , m

Passo 5

Calculando $ P_{Hg} $:
PHg
Agora, igualando as pressões:
PHg = 13600 times 9,81 times 1,143 approx 152091,648 , Pa ôó
Substituindo os valores que já calculamos:
Ptanque = Pmanômetro implies Par + Pó<=o = PHg

Passo 6

Agora, vamos isolar $ P_{ar} $:
Par
Esse é o valor da pressão do ar comprimido no tanque. Se quisermos expressar essa pressão em unidades mais comuns, como o bar, sabemos que:
Par = 152091,648 , Pa - 1343,208 , Pa = 150748,44 , Pa
Então:
1 , bar = 100000 , Pa

Resposta

A leitura do manômetro localizado no topo do tanque é aproximadamente 1,507 bar.

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