Um tanque fechado contém ar comprimido e um óleo que apresenta densidade (dóleo = 0,9). O fluido utilizado no manômetro em “U” conectado ao tanque é mercúrio (densidade dHg = 13,6). Se h1 = 914 mm, h2 = 152 mm e h3 = 229 mm, determine a leitura do manômetro localizado no topo do tanque.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e quais são os conceitos que vamos usar. A gente tem um tanque fechado contendo ar comprimido e óleo com densidade $ d_{óleo} = 0,9 , g/cm^3 $. Esse tanque está conectado a um manômetro em “U” que usa mercúrio como fluido, com densidade $ d_{Hg} = 13,6 , g/cm^3 $. As alturas medidas no manômetro são $ h_1 = 914 , mm $, $ h_2 = 152 , mm $ e $ h_3 = 229 , mm $. O nosso objetivo é determinar a leitura do manômetro no topo do tanque.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos de estática dos fluidos, especialmente como a pressão se equilibra em diferentes pontos de um sistema conectado por um manômetro. Também vamos utilizar a relação entre alturas de diferentes fluidos para encontrar a pressão no topo do tanque.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o manômetro está configurado. Num manômetro em “U”, a pressão no líquido do tanque se equilibra com a pressão no líquido do manômetro. Como temos dois fluidos diferentes (óleo e mercúrio), precisamos considerar as alturas e densidades de cada um para encontrar a pressão total.
A equação básica que relaciona as pressões é:
Onde:
Aqui, $ P_{ar} $ é a pressão do ar comprimido no tanque, $ P_{óleo} $ é a pressão devido à coluna de óleo, e $ P_{Hg} $ é a pressão devido à coluna de mercúrio no manômetro.
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas pressões separadamente. A pressão devido a uma coluna de líquido é dada pela fórmula:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade do líquido,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (podemos usar $ 9,81 , m/s^2 $),
- $ h $ é a altura da coluna de líquido.
Primeiro, vamos calcular a pressão do óleo no tanque:
Convertendo a densidade do óleo para $ kg/m^3 $:
Agora, substituindo os valores:
Passo 4
Calculando $ P_{óleo} $:
Agora, vamos calcular a pressão exercida pela coluna de mercúrio no manômetro. A altura total da coluna de mercúrio é a soma de $ h_1 + h_3 $:
Convertendo a densidade de mercúrio para $ kg/m^3 $:
Agora, calculamos $ P_{Hg} $:
Passo 5
Calculando $ P_{Hg} $:
Agora, igualando as pressões:
Substituindo os valores que já calculamos:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ P_{ar} $:
Esse é o valor da pressão do ar comprimido no tanque. Se quisermos expressar essa pressão em unidades mais comuns, como o bar, sabemos que:
Então:
Resposta
A leitura do manômetro localizado no topo do tanque é aproximadamente 1,507 bar.