Um tanque pressurizado de 2 m de diâmetro que contém água tem um orifício de 10 cm de diâmetro na parte inferior, onde a água é descarregada para a atmosfera. O nível da água inicialmente é de 3 m acima da saída. A pressão do ar no tanque acima do nível da água é mantida a 450 kPa (absoluta) e a pressão atmosférica do local é de 100 kPa . Desprezando o atrito, determine quanto tempo vai demorar para que metade da água no tanque seja descarregada e qual será o nível da água no reservatório depois da 10 s .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolvê-la.
Enunciado resumido: Temos um tanque pressurizado com água, um orifício na parte inferior por onde a água sai para a atmosfera. Queremos descobrir quanto tempo leva para metade da água ser descarregada e qual será o nível da água após 10 segundos.
Conteúdo da matéria: Vamos usar princípios da hidráulica, especificamente a Lei de Torricelli e conceitos de fluxo de fluido através de orifícios.
O que precisamos: Fórmulas para calcular a velocidade de escoamento da água, relacionar isso com o volume e tempo, e entender como a pressão afeta o fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do orifício por onde a água está saindo.
A fórmula para a área de um círculo é:
A = pi r^2
Onde Aorifício = pi (0,05)^2 = pi times 0,0025 approx 0,00785 , m^2 é o raio.
O diâmetro do orifício é 10 cm, então o raio é 5 cm ou 0,05 m.
Então:
í

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tanque.
O diâmetro do tanque é 2 m, então o raio Atanque = pi (1)^2 = pi times 1 = pi approx 3,1416 , m^2 é 1 m.

Passo 4

Vamos usar a Lei de Torricelli para encontrar a velocidade de saída da água. A velocidade v = raiz2 De é dada por:
De
Onde:
  • v = raiz2 times 3500001000 = raiz700 approx 26,46 , m/s é a diferença de pressão.
  • é a densidade da água ( ).
  • é a aceleração da gravidade ( ).
A diferença de pressão é a pressão interna do tanque menos a pressão atmosférica:
Então:

Passo 5

Agora, vamos relacionar a velocidade de saída com o volume de água que está saindo do tanque.
A taxa de vazão Q = Aorifício times v = 0,00785 times 26,46 approx 0,2077 , m^3/s é:
í

Passo 6

Para encontrar o tempo necessário para que metade da água seja descarregada, precisamos saber o volume inicial de água no tanque.
Inicialmente, a altura da água é 3 m. O volume V = Atanque times h = 3,1416 times 3 approx 9,4248 , m^3 é:
t = VmetadeQ = 4,71240,2077 approx 22,7 , segundos
Metade desse volume é aproximadamente 4,7124 m³.
Então, o tempo para descarregar metade da água é:

Passo 7

Agora, vamos determinar o nível da água no tanque após 10 segundos.
Sabemos que a taxa de vazão é aproximadamente 0,2077 m³/s. Então, o volume descarregado em 10 s é:
Vdescarregado = Q times t = 0,2077 times 10 approx 2,077 , m^3
O novo volume de água no tanque será:
Vnovo = Vinicial - Vdescarregado = 9,4248 - 2,077 approx 7,3478 , m^3
Para encontrar a nova altura hnovo = VnovoAtanque = 7,34783,1416 approx 2,34 , metros :

Resposta

Ele vai demorar aproximadamente 22,7 segundos para descarregar metade da água no tanque e, após 10 segundos, o nível da água no reservatório será de cerca de 2,34 metros.

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