Um tanque pressurizado de 2 m de diâmetro que contém água tem um orifício de 10 cm de diâmetro na parte inferior, onde a água é descarregada para a atmosfera. O nível da água inicialmente é de 3 m acima da saída. A pressão do ar no tanque acima do nível da água é mantida a 450 kPa (absoluta) e a pressão atmosférica do local é de 100 kPa . Desprezando o atrito, determine quanto tempo vai demorar para que metade da água no tanque seja descarregada e qual será o nível da água no reservatório depois da 10 s .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolvê-la.
Enunciado resumido: Temos um tanque pressurizado com água, um orifício na parte inferior por onde a água sai para a atmosfera. Queremos descobrir quanto tempo leva para metade da água ser descarregada e qual será o nível da água após 10 segundos.
Conteúdo da matéria: Vamos usar princípios da hidráulica, especificamente a Lei de Torricelli e conceitos de fluxo de fluido através de orifícios.
O que precisamos: Fórmulas para calcular a velocidade de escoamento da água, relacionar isso com o volume e tempo, e entender como a pressão afeta o fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área do orifício por onde a água está saindo.
A fórmula para a área de um círculo é:
Onde
é o raio.
O diâmetro do orifício é 10 cm, então o raio
é 5 cm ou 0,05 m.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tanque.
O diâmetro do tanque é 2 m, então o raio
é 1 m.
Passo 4
Vamos usar a Lei de Torricelli para encontrar a velocidade de saída da água. A velocidade
é dada por:
Onde:
-
é a diferença de pressão. -
é a densidade da água ( ). -
é a aceleração da gravidade ( ).
A diferença de pressão
é a pressão interna do tanque menos a pressão atmosférica:
Então:
Passo 5
Agora, vamos relacionar a velocidade de saída com o volume de água que está saindo do tanque.
A taxa de vazão
é:
Passo 6
Para encontrar o tempo necessário para que metade da água seja descarregada, precisamos saber o volume inicial de água no tanque.
Inicialmente, a altura da água é 3 m. O volume
é:
Metade desse volume é aproximadamente 4,7124 m³.
Então, o tempo
para descarregar metade da água é:
Passo 7
Agora, vamos determinar o nível da água no tanque após 10 segundos.
Sabemos que a taxa de vazão é aproximadamente 0,2077 m³/s. Então, o volume descarregado em 10 s é:
O novo volume de água no tanque será:
Para encontrar a nova altura
:
Resposta
Ele vai demorar aproximadamente 22,7 segundos para descarregar metade da água no tanque e, após 10 segundos, o nível da água no reservatório será de cerca de 2,34 metros.