Um tanque com diâmetro D0=10 m inicialmente está cheio com água até 2 m acima do centro de uma válvula com diâmetro D=10 cm próxima à parte inferior. A superfície do tanque está aberta para a atmosfera e o tanque é drenado por meio de um tubo com comprimento de L=100 m conectado a válvula. O fator de atrito do tubo é dado por f=0,015 e a velocidade de descarga é expressa por V=raiz2 g z1.5+f L D D, onde z é a altura da água acima do centro da valvula. Determine (a) a velocidade inicial de descarga do tanque e (b) o tempo necessário para esvaziar o tanque. O tanque pode ser considerado vazio quando o nível da água cai até o centro da válvula.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo e quais conceitos vamos usar para resolvê-lo.
Enunciado resumido: Temos um tanque cheio de água que está sendo drenado por um tubo. Precisamos calcular:
(a) A velocidade inicial de descarga da água.
(b) O tempo necessário para esvaziar o tanque até um certo nível.
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve conceitos de hidráulica e escoamento de fluidos, especificamente a velocidade de descarga de um fluido através de um tubo e o cálculo do tempo de esvaziamento de um tanque.
O que precisamos para resolver:
  • Fórmula da velocidade de descarga.
  • Conhecimento sobre áreas de seção transversal de tubos e tanques.
  • Cálculo de volumes e taxas de fluxo.
  • Integração para determinar o tempo de esvaziamento.

Passo 2

Vamos começar calculando a velocidade inicial de descarga da água no tanque.
A fórmula fornecida para a velocidade de descarga é:
V = raiz2 g z1.5 + f cdot L cdot D cdot D
Onde:
  • é a aceleração devido à gravidade ( ).
  • é a altura da água acima do centro da válvula.
  • é o fator de atrito do tubo.
  • é o comprimento do tubo.
  • é o diâmetro do tubo.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do tanque ( ) = 10 m.
  • Altura inicial da água acima do centro da válvula ( ) = 2 m.
  • Diâmetro da válvula ( ) = 10 cm = 0,10 m.
  • Comprimento do tubo ( ) = 100 m.
  • Fator de atrito ( ) = 0,015.
  • Aceleração da gravidade ( ) = 9,81 m/s².
Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar .

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula da velocidade:
V = raiz2 cdot 9,81 cdot 21.5 + 0,015 cdot 100 cdot 0,10 cdot 0,10
Primeiro, vamos calcular o denominador:
1.5 + 0,015 cdot 100 cdot 0,10 cdot 0,10
= 1.5 + 0,015 cdot 100 cdot 0,01
= 1.5 + 0,015 cdot 1
= 1.5 + 0.015
= 1.515
Agora, substituímos de volta na fórmula:
V = raiz2 cdot 9,81 cdot 21.515
= raiz39.241.515
= raiz25.858
approx 5.085 , m/s

Passo 4

Agora que temos a velocidade de descarga inicial ( Atanque = pi (D02)^2 ), vamos calcular o tempo necessário para esvaziar o tanque até o nível especificado.
Primeiro, precisamos encontrar a área da superfície do tanque ( Atanque = pi (102)^2 ) e a área da seção transversal da válvula ( = pi cdot 25 á).
Área do tanque:
= 78.54 , m^2
Aválvula = pi (D2)^2
Aválvula = pi (0.102)^2
= pi cdot 0.0025
Área da válvula:
= 0.00785 , m^2 á
á

Passo 5

Sabemos que a taxa de variação do volume do tanque ( dVdt = Atanque cdot dzdt ) é igual à área do tanque multiplicada pela taxa de variação da altura da água ( dVdt = -Aválvula cdot V ):
Atanque cdot dzdt = -Aválvula cdot V
A taxa de saída de água pelo tubo é igual à área da válvula multiplicada pela velocidade de descarga ( Atanque cdot dzdt = -Aválvula cdot raiz2 g z1.5 + f cdot L cdot D cdot D ):
á
(O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.)
Igualando as duas expressões:
á
Substituindo pela fórmula da velocidade:
á

Passo 6

Queremos encontrar o tempo total para esvaziar o tanque até a altura dzraizz = -AválvulaAtanque cdot raiz2 g1.5 + f cdot L cdot D cdot D cdot dt . Para isso, vamos separar as variáveis e integrar.
Rearranjando a equação:
integral2^0 dzraizz = -AválvulaAtanque cdot raiz2 g1.5 + f cdot L cdot D cdot D cdot integral0^T dt á
Integramos ambos os lados:
integral dzraizz = 2 raizz á
Resolvendo as integrais:
À esquerda:
2 raiz0 - 2 raiz2 = -2 raiz2
Avaliado de 2 a 0:
-AválvulaAtanque cdot raiz2 g1.5 + f cdot L cdot D cdot D cdot T
À direita:
-2 raiz2 = -AválvulaAtanque cdot raiz2 g1.5 + f cdot L cdot D cdot D cdot T á
Igualando:
2 raiz2 = AválvulaAtanque cdot raiz2 g1.5 + f cdot L cdot D cdot D cdot T á
Podemos cancelar os sinais negativos:
á

Passo 7

Agora, isolamos T = 2 raiz2 cdot AtanqueAválvula cdot raiz2 g1.5 + f cdot L cdot D cdot D para encontrar o tempo de esvaziamento:
Atanque = 78.54 , m^2 á
Vamos substituir os valores conhecidos:
Aválvula = 0.00785 , m^2
g = 9.81 , m/s^2 á
f = 0.015
L = 100 , m
D = 0.10 , m
1.5 + f cdot L cdot D cdot D = 1.5 + 0.015 cdot 100 cdot 0.10 cdot 0.10
Calculando o denominador da raiz:
= 1.5 + 0.015 cdot 1
= 1.5 + 0.015
= 1.515
T = 2 raiz2 cdot 78.540.00785 cdot raiz2 cdot 9.811.515
Agora, substituindo na equação de raiz19.621.515 = raiz12.95 approx 3.598 :
T = 2 cdot 1.414 cdot 78.540.00785 cdot 3.598
Calculando a raiz no denominador:
= 222.00.0283
Agora, substituindo:
approx 7848 , segundos
78483600 approx 2.18 , horas
Convertendo para horas:

Resposta

(a) A velocidade inicial de descarga é aproximadamente .
(b) O tempo necessário para esvaziar o tanque até o nível especificado é de aproximadamente 2,18 horas.

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