Um tanque com diâmetro inicialmente está cheio com água até 2 m acima do centro de uma válvula com diâmetro próxima à parte inferior. A superfície do tanque está aberta para a atmosfera e o tanque é drenado por meio de um tubo com comprimento de conectado a válvula. O fator de atrito do tubo é dado por e a velocidade de descarga é expressa por , onde é a altura da água acima do centro da valvula. Determine (a) a velocidade inicial de descarga do tanque e (b) o tempo necessário para esvaziar o tanque. O tanque pode ser considerado vazio quando o nível da água cai até o centro da válvula.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo e quais conceitos vamos usar para resolvê-lo.
Enunciado resumido: Temos um tanque cheio de água que está sendo drenado por um tubo. Precisamos calcular:
(a) A velocidade inicial de descarga da água.
(b) O tempo necessário para esvaziar o tanque até um certo nível.
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve conceitos de hidráulica e escoamento de fluidos, especificamente a velocidade de descarga de um fluido através de um tubo e o cálculo do tempo de esvaziamento de um tanque.
O que precisamos para resolver:
  • Fórmula da velocidade de descarga.
  • Conhecimento sobre áreas de seção transversal de tubos e tanques.
  • Cálculo de volumes e taxas de fluxo.
  • Integração para determinar o tempo de esvaziamento.

Passo 2

Vamos começar calculando a velocidade inicial de descarga da água no tanque.
A fórmula fornecida para a velocidade de descarga é:
Onde:
  • é a aceleração devido à gravidade ( ).
  • é a altura da água acima do centro da válvula.
  • é o fator de atrito do tubo.
  • é o comprimento do tubo.
  • é o diâmetro do tubo.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do tanque ( ) = 10 m.
  • Altura inicial da água acima do centro da válvula ( ) = 2 m.
  • Diâmetro da válvula ( ) = 10 cm = 0,10 m.
  • Comprimento do tubo ( ) = 100 m.
  • Fator de atrito ( ) = 0,015.
  • Aceleração da gravidade ( ) = 9,81 m/s².
Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar .

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula da velocidade:
Primeiro, vamos calcular o denominador:
Agora, substituímos de volta na fórmula:

Passo 4

Agora que temos a velocidade de descarga inicial ( ), vamos calcular o tempo necessário para esvaziar o tanque até o nível especificado.
Primeiro, precisamos encontrar a área da superfície do tanque ( ) e a área da seção transversal da válvula ( á).
Área do tanque:
Área da válvula:
á
á

Passo 5

Sabemos que a taxa de variação do volume do tanque ( ) é igual à área do tanque multiplicada pela taxa de variação da altura da água ( ):
A taxa de saída de água pelo tubo é igual à área da válvula multiplicada pela velocidade de descarga ( ):
á
(O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.)
Igualando as duas expressões:
á
Substituindo pela fórmula da velocidade:
á

Passo 6

Queremos encontrar o tempo total para esvaziar o tanque até a altura . Para isso, vamos separar as variáveis e integrar.
Rearranjando a equação:
á
Integramos ambos os lados:
á
Resolvendo as integrais:
À esquerda:
Avaliado de 2 a 0:
À direita:
á
Igualando:
á
Podemos cancelar os sinais negativos:
á

Passo 7

Agora, isolamos para encontrar o tempo de esvaziamento:
á
Vamos substituir os valores conhecidos:
á
Calculando o denominador da raiz:
Agora, substituindo na equação de :
Calculando a raiz no denominador:
Agora, substituindo:
Convertendo para horas:

Resposta

(a) A velocidade inicial de descarga é aproximadamente .
(b) O tempo necessário para esvaziar o tanque até o nível especificado é de aproximadamente 2,18 horas.

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