Um tanque com diâmetro
inicialmente está cheio com água até 2 m acima do centro de uma válvula com diâmetro
próxima à parte inferior. A superfície do tanque está aberta para a atmosfera e o tanque é drenado por meio de um tubo com comprimento de
conectado a válvula. O fator de atrito do tubo é dado por
e a velocidade de descarga é expressa por
, onde
é a altura da água acima do centro da valvula. Determine (a) a velocidade inicial de descarga do tanque e (b) o tempo necessário para esvaziar o tanque. O tanque pode ser considerado vazio quando o nível da água cai até o centro da válvula.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo e quais conceitos vamos usar para resolvê-lo.
Enunciado resumido: Temos um tanque cheio de água que está sendo drenado por um tubo. Precisamos calcular:
(a) A velocidade inicial de descarga da água.
(b) O tempo necessário para esvaziar o tanque até um certo nível.
(a) A velocidade inicial de descarga da água.
(b) O tempo necessário para esvaziar o tanque até um certo nível.
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve conceitos de hidráulica e escoamento de fluidos, especificamente a velocidade de descarga de um fluido através de um tubo e o cálculo do tempo de esvaziamento de um tanque.
O que precisamos para resolver:
- Fórmula da velocidade de descarga.
- Conhecimento sobre áreas de seção transversal de tubos e tanques.
- Cálculo de volumes e taxas de fluxo.
- Integração para determinar o tempo de esvaziamento.
Passo 2
Vamos começar calculando a velocidade inicial de descarga da água no tanque.
A fórmula fornecida para a velocidade de descarga é:
Onde:
-
é a aceleração devido à gravidade ( ). -
é a altura da água acima do centro da válvula. -
é o fator de atrito do tubo. -
é o comprimento do tubo. -
é o diâmetro do tubo.
Dados fornecidos:
- Diâmetro do tanque (
) = 10 m. - Altura inicial da água acima do centro da válvula (
) = 2 m. - Diâmetro da válvula (
) = 10 cm = 0,10 m. - Comprimento do tubo (
) = 100 m. - Fator de atrito (
) = 0,015. - Aceleração da gravidade (
) = 9,81 m/s².
Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar
.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula da velocidade:
Primeiro, vamos calcular o denominador:
Agora, substituímos de volta na fórmula:
Passo 4
Agora que temos a velocidade de descarga inicial (
), vamos calcular o tempo necessário para esvaziar o tanque até o nível especificado.
Primeiro, precisamos encontrar a área da superfície do tanque (
) e a área da seção transversal da válvula (
).
Área do tanque:
Área da válvula:
Passo 5
Sabemos que a taxa de variação do volume do tanque (
) é igual à área do tanque multiplicada pela taxa de variação da altura da água (
):
A taxa de saída de água pelo tubo é igual à área da válvula multiplicada pela velocidade de descarga (
):
(O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.)
Igualando as duas expressões:
Substituindo
pela fórmula da velocidade:
Passo 6
Queremos encontrar o tempo total para esvaziar o tanque até a altura
. Para isso, vamos separar as variáveis e integrar.
Rearranjando a equação:
Integramos ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
À esquerda:
Avaliado de 2 a 0:
À direita:
Igualando:
Podemos cancelar os sinais negativos:
Passo 7
Agora, isolamos
para encontrar o tempo de esvaziamento:
Vamos substituir os valores conhecidos:
Calculando o denominador da raiz:
Agora, substituindo na equação de
:
Calculando a raiz no denominador:
Agora, substituindo:
Convertendo para horas:
Resposta
(a) A velocidade inicial de descarga é aproximadamente
.
(b) O tempo necessário para esvaziar o tanque até o nível especificado é de aproximadamente 2,18 horas.
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