Uma corrente de líquido movendo-se a baixa velocidade sai de um bocal apontado diretamente para baixo. A velocidade pode ser considerada uniforme na seção de saída do bocal e os efeitos de atrito podem ser desprezados. Na saída do bocal, localizada na elevação z0, a velocidade e área do jato são V0 e A0, respectivamente. Determine a variação da área do jato com a elevação.

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma corrente de líquido que sai de um bocal apontado para baixo com velocidade e área de saída na posição . Queremos descobrir como a área do jato muda conforme a elevação aumenta. Para resolver isso, vamos usar dois conceitos importantes da física dos fluidos: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a equação da continuidade. Ela nos diz que, em um fluxo de líquido incompressível e sem perdas, o produto da área da seção transversal A(z) cdot V(z) = A0 cdot V0 e a velocidade do fluxo permanece constante ao longo do fluxo. Matemáticamente, isso é representado por:
Isso significa que se a velocidade do líquido muda em função da elevação, a área da seção transversal também deve mudar para manter esse produto constante.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em diferentes pontos do fluxo. Para nosso caso, como estamos desprezando os efeitos de atrito e assumindo que a pressão atmosférica é constante em todos os pontos, a equação de Bernoulli simplifica para:
12 V(z)^2 + g z = 12 V0^2 + g z0
Aqui, é a aceleração devido à gravidade, é a elevação atual e é a elevação inicial onde conhecemos e .

Passo 4

Vamos resolver a equação de Bernoulli para 12 V(z)^2 = 12 V0^2 + g z0 - g z :
V(z)^2 = V0^2 + 2g(z0 - z)
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
V(z) = raizV0^2 + 2g(z0 - z)
Então, tirando a raiz quadrada:

Passo 5

Agora que temos A(z) = A0 V0V(z) , vamos voltar à equação da continuidade para encontrar A(z) = A0 V0raizV0^2 + 2g(z0 - z) :
Substituindo pela expressão que encontramos:

Resposta

A variação da área do jato com a elevação A(z) = A0 V0raizV0^2 + 2g(z0 - z) é dada por:

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