Uma corrente de líquido movendo-se a baixa velocidade sai de um bocal apontado diretamente para baixo. A velocidade pode ser considerada uniforme na seção de saída do bocal e os efeitos de atrito podem ser desprezados. Na saída do bocal, localizada na elevação
, a velocidade e área do jato são
e
, respectivamente. Determine a variação da área do jato com a elevação.
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma corrente de líquido que sai de um bocal apontado para baixo com velocidade
e área de saída
na posição
. Queremos descobrir como a área do jato muda conforme a elevação
aumenta. Para resolver isso, vamos usar dois conceitos importantes da física dos fluidos: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a equação da continuidade. Ela nos diz que, em um fluxo de líquido incompressível e sem perdas, o produto da área da seção transversal
e a velocidade do fluxo
permanece constante ao longo do fluxo. Matemáticamente, isso é representado por:
Isso significa que se a velocidade do líquido muda em função da elevação, a área da seção transversal também deve mudar para manter esse produto constante.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em diferentes pontos do fluxo. Para nosso caso, como estamos desprezando os efeitos de atrito e assumindo que a pressão atmosférica é constante em todos os pontos, a equação de Bernoulli simplifica para:
Aqui,
é a aceleração devido à gravidade,
é a elevação atual e
é a elevação inicial onde conhecemos
e
.
Passo 4
Vamos resolver a equação de Bernoulli para
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Então, tirando a raiz quadrada:
Passo 5
Agora que temos
, vamos voltar à equação da continuidade para encontrar
:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Resposta
A variação da área do jato com a elevação
é dada por:
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, mostre que as equações Hamilton ficam
onde
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Considere a Hamiltoniana
. Prove que
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em termos de quatro constantes arbitrárias.