Um tanque rígido de 0,5 m^3 contém dióxido De carbono a 300 Ke 150 kPa . O tanque se Encontra conectado à uma linha que comTém o mesmo gás nas mesmas condições de Temperatura e pressão. Um compressor liGado à linha comprime o gás até que a presSão no tanque atinja 450 kPa . Admitindo Que o processo seja adiabático e reversível, Determine a massa final e a temperatura do Dióxido de carbono no tanque e o trabalho Requerido pelo compressor

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque rígido de 0,5 m³ que contém dióxido de carbono (CO₂) nas condições iniciais de temperatura de 300 K e pressão de 150 kPa. Esse tanque está conectado a uma linha com o mesmo gás nas mesmas condições. Um compressor vai comprimir o gás de forma adiabática e reversível até a pressão no tanque chegar a 450 kPa. Nosso objetivo é descobrir a massa final de CO₂ no tanque, a nova temperatura e o trabalho que o compressor precisou realizar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente processoss adiabáticos e as leis dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um processo adiabático e reversível. Um processo adiabático é aquele em que não há troca de calor com o ambiente, ou seja, $ Q = 0 $. Já um processo reversível é idealizado, onde cada passo pode ser desfeito sem perdas. Juntos, esses conceitos nos levam à primeira lei da termodinâmica simplificada para esse caso:
Q = 0
Onde $ \Delta U $ é a variação da energia interna e $ W $ é o trabalho realizado pelo compressor.

Passo 3

Vamos assumir que o dióxido de carbono se comporta como um gás ideal. A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura e da massa, e pode ser expressa por:
De
Aqui, $ m $ é a massa do gás, $ c_v $ é a capacidade térmica a volume constante, e $ \Delta T $ é a variação de temperatura.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar a massa de CO₂ no tanque inicialmente e depois na condição final. Usando a equação dos gases ideais:
PV = mRT
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ V $ é o volume,
  • $ m $ é a massa,
  • $ R $ é a constante específica do gás,
  • $ T $ é a temperatura.
Vamos usar essa equação para as condições inicial e final.

Passo 5

Para o CO₂, a constante específica $ R $ é aproximadamente 188,9 J/(kg·K).
Inicialmente:
R
P1 V = m1 R T1
Resolvendo para $ m_1 $:
150,000 times 0,5 = m1 times 188,9 times 300

Passo 6

Na condição final, a pressão é $ P_2 = 450,000 $ Pa e a temperatura $ T_2 $ ainda é desconhecida. A equação dos gases fica:
P2 = 450,000
T2
Mas como o processo é adiabático e reversível, podemos usar a relação adiabática para gases ideais:
P2 V = m2 R T2
Como o volume $ V $ é constante, isso implica que a temperatura também muda proporcionalmente:
450,000 times 0,5 = m2 times 188,9 times T2
P1 V^gamma = P2 V^gamma

Passo 7

Agora podemos encontrar a massa final $ m_2 $ usando a equação dos gases na condição final:
m2
450,000 times 0,5 = m2 times 188,9 times 900
225,000 = m2 times 170.010
Curiosamente, a massa não mudou porque o volume do tanque é constante e estamos apenas comprimindo o gás.

Passo 8

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pelo compressor. Usando a primeira lei da termodinâmica para um processo adiabático:
W = De
Para o CO₂, $ c_v $ é aproximadamente 846 J/(kg·K).
cv
Então:
De

Resposta

A massa final de dióxido de carbono no tanque é aproximadamente 1,323 kg, a temperatura final é 900 K, e o trabalho requerido pelo compressor foi de cerca de 673.362 J.

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