Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone invertido. Esse tanque está completamente cheio com 8dm³ de água e 56dm³ de petróleo. Petróleo e água não se misturam, ficando o petróleo na parte superior do tanque e a água na parte inferior. Sabendo que o tanque tem 12m de profundidade, a altura da camada de petróleo é
A)10m.
B)9m.
C)8m.
D)7m.
E)6m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um tanque subterrâneo em forma de cone invertido que está cheio de água e petróleo. Queremos descobrir qual é a altura da camada de petróleo nesse tanque. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados ao volume de cones e à proporcionalidade entre altura e volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a altura e o volume em um cone. O volume de um cone é dado pela fórmula:
V = 13 pi r^2 h
onde $ V $ é o volume, $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura.

Passo 3

Como o tanque é um cone invertido cheio de água e petróleo que não se misturam, a altura total do tanque é a soma das alturas das camadas de água e petróleo. Sabemos que a profundidade total do tanque é de 12 metros.

Passo 4

Os volumes de água e petróleo são fornecidos:
  • Volume de água: 8 dm³
  • Volume de petróleo: 56 dm³
    Totalizando um volume combinado de 64 dm³.

Passo 5

No caso de cones similares (como as partes de água e petróleo dentro do tanque), o volume é proporcional ao cubo da altura. Então, podemos usar a relação:
Vpetró<=oVtotal = ( hpetró<=ohtotal )^3 óó
Substituindo os valores:
5664 = ( hpetró<=o12 )^3 ó

Passo 6

Vamos resolver para $ h_{petróleo} $:
hpetró<=o ó
Simplificando a fração:
5664 = ( hpetró<=o12 )^3 ó

Passo 7

Para encontrar $ h_{petróleo} $, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
hpetró<=o ó
( 78 )^1/3 = hpetró<=o12 ó

Passo 8

Calculando:
( 78 )^1/3 approx 0,912
hpetró<=o approx 12 times 0,912 ó
hpetró<=o approx 10,944 , m ó

Resposta

A altura da camada de petróleo é aproximadamente 10 metros. Portanto, a opção correta é a A) 10m.

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