Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone invertido. Esse tanque está completamente cheio com 8dm³ de água e 56dm³ de petróleo. Petróleo e água não se misturam, ficando o petróleo na parte superior do tanque e a água na parte inferior. Sabendo que o tanque tem 12m de profundidade, a altura da camada de petróleo é
A)10m.
B)9m.
C)8m.
D)7m.
E)6m.
A)10m.
B)9m.
C)8m.
D)7m.
E)6m.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um tanque subterrâneo em forma de cone invertido que está cheio de água e petróleo. Queremos descobrir qual é a altura da camada de petróleo nesse tanque. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados ao volume de cones e à proporcionalidade entre altura e volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a altura e o volume em um cone. O volume de um cone é dado pela fórmula:
onde $ V $ é o volume, $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura.
Passo 3
Como o tanque é um cone invertido cheio de água e petróleo que não se misturam, a altura total do tanque é a soma das alturas das camadas de água e petróleo. Sabemos que a profundidade total do tanque é de 12 metros.
Passo 4
Os volumes de água e petróleo são fornecidos:
- Volume de água: 8 dm³
- Volume de petróleo: 56 dm³
Totalizando um volume combinado de 64 dm³.
Passo 5
No caso de cones similares (como as partes de água e petróleo dentro do tanque), o volume é proporcional ao cubo da altura. Então, podemos usar a relação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos resolver para $ h_{petróleo} $:
Simplificando a fração:
Passo 7
Para encontrar $ h_{petróleo} $, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
Passo 8
Calculando:
Resposta
A altura da camada de petróleo é aproximadamente 10 metros. Portanto, a opção correta é a A) 10m.