Um tanque, com volume
, contém ar a 800 kPa (absoluta) e
. Em t=0, o ar começa a escapar do tanque por meio de uma válvula com área de escoamento de
. O ar passando pela válvula tem velocidade de
e massa específica de
. Determine a taxa instantânea de variação da massa específica do ar no tanque em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque com volume de
cheio de ar a uma pressão absoluta de
e temperatura de
. De repente, em
, o ar começa a sair por uma válvula com área de
. A velocidade do ar que sai é de
e a massa específica é
. O que queremos descobrir é como a densidade da massa do ar no tanque está mudando naquele exato momento, ou seja,
em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo de massa e equações de conservação.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as unidades para ficarem todas no Sistema Internacional. A área da válvula está em milímetros quadrados, então vamos converter para metros quadrados:
Passo 3
Agora, vamos calcular a taxa de fluxo de massa que está saindo do tanque. A taxa de fluxo de massa (
) é dada pela fórmula:
Onde:
-
(massa específica) -
(área) -
(velocidade)
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos calcular o valor:
Passo 5
Agora, a taxa de variação da massa no tanque está relacionada à taxa de fluxo de massa que está saindo. Como a massa está diminuindo, essa variação será negativa:
Passo 6
Sabemos que a densidade (
) é a massa dividida pelo volume (
):
Para achar a taxa de variação da densidade, derivamos em relação ao tempo:
Passo 7
Substituindo os valores: