Um tanque, com volume , contém ar a 800 kPa (absoluta) e . Em t=0, o ar começa a escapar do tanque por meio de uma válvula com área de escoamento de . O ar passando pela válvula tem velocidade de e massa específica de . Determine a taxa instantânea de variação da massa específica do ar no tanque em

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque com volume de cheio de ar a uma pressão absoluta de e temperatura de . De repente, em , o ar começa a sair por uma válvula com área de . A velocidade do ar que sai é de e a massa específica é . O que queremos descobrir é como a densidade da massa do ar no tanque está mudando naquele exato momento, ou seja, em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo de massa e equações de conservação.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades para ficarem todas no Sistema Internacional. A área da válvula está em milímetros quadrados, então vamos converter para metros quadrados:

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa de fluxo de massa que está saindo do tanque. A taxa de fluxo de massa ( ) é dada pela fórmula:
Onde:
  • (massa específica)
  • (área)
  • (velocidade)
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular o valor:

Passo 5

Agora, a taxa de variação da massa no tanque está relacionada à taxa de fluxo de massa que está saindo. Como a massa está diminuindo, essa variação será negativa:

Passo 6

Sabemos que a densidade ( ) é a massa dividida pelo volume ( ):
Para achar a taxa de variação da densidade, derivamos em relação ao tempo:

Passo 7

Substituindo os valores:

Resposta

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