Um tanque, com volume forall=0,05 m^3, contém ar a 800 kPa (absoluta) e 15^circ C. Em t=0, o ar começa a escapar do tanque por meio de uma válvula com área de escoamento de 65 mm^2. O ar passando pela válvula tem velocidade de 300 m / s e massa específica de 6 kg / m^3. Determine a taxa instantânea de variação da massa específica do ar no tanque em t=0 (Resposta: partial rhopartial t=-2,34(kg / m^3) / s)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque com volume de cheio de ar a uma pressão absoluta de e temperatura de . De repente, em , o ar começa a sair por uma válvula com área de . A velocidade do ar que sai é de e a massa específica é . O que queremos descobrir é como a densidade da massa do ar no tanque está mudando naquele exato momento, ou seja, em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo de massa e equações de conservação.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades para ficarem todas no Sistema Internacional. A área da válvula está em milímetros quadrados, então vamos converter para metros quadrados:
65 , mm^2 = 65 times 10^-6 , m^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa de fluxo de massa que está saindo do tanque. A taxa de fluxo de massa ( dotm = rho times A times v ) é dada pela fórmula:
dotm = 6 times 65 times 10^-6 times 300
Onde:
  • (massa específica)
  • (área)
  • (velocidade)
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular o valor:
dotm = 6 times 65 times 10^-6 times 300 = 6 times 0,000065 times 300 = 0,117 , kg/s

Passo 5

Agora, a taxa de variação da massa no tanque está relacionada à taxa de fluxo de massa que está saindo. Como a massa está diminuindo, essa variação será negativa:
partial mpartial t = -dotm = -0,117 , kg/s

Passo 6

Sabemos que a densidade ( rho = mV ) é a massa dividida pelo volume ( partial rhopartial t = 1V partial mpartial t ):
Para achar a taxa de variação da densidade, derivamos em relação ao tempo:

Passo 7

Substituindo os valores:
partial rhopartial t = 10,05 times (-0,117) = -2,34 , kg/m^3/s

Resposta

partial rhopartial t = -2,34 , kg/m^3/s

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