a) Qual é a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento do elemento, em r=0 (a linha central do elemento) e em r=30 mm (a superfície)?
b) Se o nível de potência do reator for subitamente aumentado para dotq2=10^8 W / m^3 quais são as taxas iniciais da variação de temperaturas com o tempo em r=0 e r=30 mm ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Na parte a), queremos encontrar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento em dois pontos específicos de um elemento cilíndrico: no centro ( r=0) e na superfície ( r=30 mm). Para resolver isso, vamos usar o teorema de Fourier para condução de calor em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar do teorema de Fourier para condução de calor, que nos diz que a taxa de fluxo de calor ( qr) em função da distância radial ( r) é dada por:
qr = -k ( partial Tpartial r )
Aqui, é a condutividade térmica do material, e é o gradiente de temperatura na direção radial.

Passo 3

No caso de um cilindro, a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento pode ser relacionada à diferença de temperatura entre o centro e a superfície. Supondo que a temperatura no centro seja e na superfície seja , podemos integrar a equação de Fourier para encontrar o fluxo de calor.

Passo 4

A expressão integrada para a transferência de calor em coordenadas cilíndricas é:
qr = 2 pi k (T0 - Ts)ln(R/r)
Onde:
  • é o raio externo do cilindro,
  • é a distância radial onde queremos calcular a taxa de transferência de calor.

Passo 5

Vamos aplicar essa fórmula nos dois pontos pedidos:
  1. No centro ( r=0): No centro do cilindro, a distância r=30 mm tende a zero. No entanto, a expressão qr = 2 pi k (T0 - Ts)ln(R/R) = 2 pi k (T0 - Ts)0 não é definida, o que indica que a taxa de transferência de calor no centro é zero devido à simetria do problema.
  2. Na superfície ( ): Aqui, . Substituindo na fórmula:
Isso sugere uma singularidade, mas na prática, a taxa de transferência na superfície é definida pelas condições de contorno, geralmente relacionada à convecção ou radiação na superfície.

Resposta

a) A taxa de transferência de calor por unidade de comprimento no centro do elemento ( r=0) é zero. Na superfície ( r=30 mm), a taxa de transferência de calor depende das condições de contorno específicas, geralmente relacionada à convecção ou radiação, e não pode ser calculada apenas com as informações fornecidas.

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