a) Qual é a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento do elemento, em
(a linha central do elemento) e em
(a superfície)?
b) Se o nível de potência do reator for subitamente aumentado para
quais são as taxas iniciais da variação de temperaturas com o tempo em
e
?
b) Se o nível de potência do reator for subitamente aumentado para
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Na parte a), queremos encontrar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento em dois pontos específicos de um elemento cilíndrico: no centro (
) e na superfície (
). Para resolver isso, vamos usar o teorema de Fourier para condução de calor em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar do teorema de Fourier para condução de calor, que nos diz que a taxa de fluxo de calor (
) em função da distância radial (
) é dada por:
Aqui,
é a condutividade térmica do material, e
é o gradiente de temperatura na direção radial.
Passo 3
No caso de um cilindro, a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento pode ser relacionada à diferença de temperatura entre o centro e a superfície. Supondo que a temperatura no centro seja
e na superfície seja
, podemos integrar a equação de Fourier para encontrar o fluxo de calor.
Passo 4
A expressão integrada para a transferência de calor em coordenadas cilíndricas é:
Onde:
-
é o raio externo do cilindro, -
é a distância radial onde queremos calcular a taxa de transferência de calor.
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula nos dois pontos pedidos:
-
No centro (
): No centro do cilindro, a distância tende a zero. No entanto, a expressão não é definida, o que indica que a taxa de transferência de calor no centro é zero devido à simetria do problema. -
Na superfície (
): Aqui, . Substituindo na fórmula:
Isso sugere uma singularidade, mas na prática, a taxa de transferência na superfície é definida pelas condições de contorno, geralmente relacionada à convecção ou radiação na superfície.
Resposta
a) A taxa de transferência de calor por unidade de comprimento no centro do elemento (
) é zero. Na superfície (
), a taxa de transferência de calor depende das condições de contorno específicas, geralmente relacionada à convecção ou radiação, e não pode ser calculada apenas com as informações fornecidas.
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