O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em t = 0 até a ejeção do foguete auxiliar em t = 126 s, é dado por
v(t) = 0,0003968 t^3 - 0,02752 t^2 + 7,196 t - 0,9397
(em metros/segundo). Usando este modelo, estime os valores máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o movimento do ônibus espacial Discovery quando lançou o Telescópio Hubble. A missão aconteceu em 24 de abril de 1990, e a gente tem uma equação que descreve a velocidade do ônibus em função do tempo desde o lançamento até a ejeção do foguete auxiliar, que acontece em segundos. O que a gente precisa descobrir é qual foi a aceleração máxima e mínima que o ônibus sofreu nesse período.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se a velocidade é dada por , a aceleração é a derivada dessa função em relação a :
Então, nosso primeiro passo é derivar a função da velocidade para encontrar a aceleração.

Passo 3

Vamos derivar a função . A derivada de cada termo fica assim:
Então, a função da aceleração fica:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a aceleração, precisamos encontrar os valores máximos e mínimos dessa função no intervalo de a segundos. Para isso, vamos procurar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada da aceleração se iguala a zero:
Primeiro, vamos derivar :
Então, igualando a derivada a zero:

Passo 5

Agora que encontramos um ponto crítico em segundos, precisamos avaliar a aceleração nesses pontos e também nos extremos do intervalo, ou seja, em e segundos. Vamos calcular para esses valores:
Para :
²
Para :
Calculando:
²
Para :
Calculando:
²

Resposta

Portanto, a aceleração mínima absoluta do ônibus foi aproximadamente ² aos 23,1 segundos, e a aceleração máxima absoluta foi aproximadamente ² aos 126 segundos.

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