O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em até a ejeção do foguete auxiliar em , é dado por
(em metros/segundo). Usando este modelo, estime os valores máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o movimento do ônibus espacial Discovery quando lançou o Telescópio Hubble. A missão aconteceu em 24 de abril de 1990, e a gente tem uma equação que descreve a velocidade do ônibus em função do tempo desde o lançamento até a ejeção do foguete auxiliar, que acontece em segundos. O que a gente precisa descobrir é qual foi a aceleração máxima e mínima que o ônibus sofreu nesse período.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se a velocidade é dada por , a aceleração é a derivada dessa função em relação a :
Então, nosso primeiro passo é derivar a função da velocidade para encontrar a aceleração.

Passo 3

Vamos derivar a função . A derivada de cada termo fica assim:
Então, a função da aceleração fica:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a aceleração, precisamos encontrar os valores máximos e mínimos dessa função no intervalo de a segundos. Para isso, vamos procurar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada da aceleração se iguala a zero:
Primeiro, vamos derivar :
Então, igualando a derivada a zero:

Passo 5

Agora que encontramos um ponto crítico em segundos, precisamos avaliar a aceleração nesses pontos e também nos extremos do intervalo, ou seja, em e segundos. Vamos calcular para esses valores:
Para :
²
Para :
Calculando:
²
Para :
Calculando:
²

Resposta

Portanto, a aceleração mínima absoluta do ônibus foi aproximadamente ² aos 23,1 segundos, e a aceleração máxima absoluta foi aproximadamente ² aos 126 segundos.

Exercícios relacionados

É dado o gráfico de
Encontre o domínio da função:
Esboce o gráfico de uma função que seja contínua em e tenha as propriedades dadas.
4.7. Máximo absoluto em 5, mínimo absoluto em 2, máximo local em 3, mínimos locais em 2 e 4 .
4.8. Máximo absoluto em 4, mínimo absoluto em 5, máximo local em 2 e mínimo local em 3.
4.9. Mínimo absoluto em 3, máximo absoluto em 4, máximo local em 2.
4.10. Máximo absoluto em 2, mínimo absoluto em 5, 4 é um número crítico mas não há nem máximo nem mínimo local af́.
Seja . Para cada , determine tal que se .