Seja
. Para cada
, determine
tal que
se
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos encontrar, para cada
, um
tal que sempre que
, a desigualdade
seja verdadeira. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limite na matemática, especificamente aplicando o teorema do
-
para demonstrar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 5.
Passo 2
Vamos começar simplificando a função
. Observamos que o numerador é um polinômio de segundo grau, e podemos tentar fatorá-lo:
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
. Esses números são
e
. Assim, reescrevemos o polinômio:
Então, a função
fica:
Podemos simplificar cancelando o termo
, desde que
:
Passo 3
Agora que simplificamos
para
, vamos analisar a expressão
:
Queremos que isso seja menor que
:
Passo 4
Para isolar
, dividimos ambos os lados da desigualdade por 4:
Isso significa que podemos escolher
para garantir que
sempre que
.
Resposta
Para cada
, podemos escolher
, de forma que
sempre que
.