Seja . Para cada , determine tal que se .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos encontrar, para cada , um tal que sempre que , a desigualdade seja verdadeira. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limite na matemática, especificamente aplicando o teorema do - para demonstrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 5.

Passo 2

Vamos começar simplificando a função . Observamos que o numerador é um polinômio de segundo grau, e podemos tentar fatorá-lo:
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e . Assim, reescrevemos o polinômio:
Então, a função fica:
Podemos simplificar cancelando o termo , desde que :

Passo 3

Agora que simplificamos para , vamos analisar a expressão :
Queremos que isso seja menor que :

Passo 4

Para isolar , dividimos ambos os lados da desigualdade por 4:
Isso significa que podemos escolher para garantir que sempre que .

Resposta

Para cada , podemos escolher , de forma que sempre que .

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O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em até a ejeção do foguete auxiliar em , é dado por
(em metros/segundo). Usando este modelo, estime os valores máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar.
Calcule os limites indicados se existirem: .
Seja . Calcule, se existirem ,