Seja
. Para cada
, determine
tal que
se
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos encontrar, para cada
, um
tal que sempre que
, a desigualdade
seja verdadeira. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limite na matemática, especificamente aplicando o teorema do
-
para demonstrar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 5.
Passo 2
Vamos começar simplificando a função
. Observamos que o numerador é um polinômio de segundo grau, e podemos tentar fatorá-lo:
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
. Esses números são
e
. Assim, reescrevemos o polinômio:
Então, a função
fica:
Podemos simplificar cancelando o termo
, desde que
:
Passo 3
Agora que simplificamos
para
, vamos analisar a expressão
:
Queremos que isso seja menor que
:
Passo 4
Para isolar
, dividimos ambos os lados da desigualdade por 4:
Isso significa que podemos escolher
para garantir que
sempre que
.
Resposta
Para cada
, podemos escolher
, de forma que
sempre que
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de uma função
que seja contínua em
e tenha as propriedades dadas.
4.7. Máximo absoluto em 5, mínimo absoluto em 2, máximo local em 3, mínimos locais em 2 e 4 .
4.8. Máximo absoluto em 4, mínimo absoluto em 5, máximo local em 2 e mínimo local em 3.
4.9. Mínimo absoluto em 3, máximo absoluto em 4, máximo local em 2.
4.10. Máximo absoluto em 2, mínimo absoluto em 5, 4 é um número crítico mas não há nem máximo nem mínimo local af́.
4.7. Máximo absoluto em 5, mínimo absoluto em 2, máximo local em 3, mínimos locais em 2 e 4 .
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4.9. Mínimo absoluto em 3, máximo absoluto em 4, máximo local em 2.
4.10. Máximo absoluto em 2, mínimo absoluto em 5, 4 é um número crítico mas não há nem máximo nem mínimo local af́.
O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em
até a ejeção do foguete auxiliar em
, é dado por
(em metros/segundo). Usando este modelo, estime os valores máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar.
Calcule os limites indicados se existirem:
.
Seja
. Calcule, se existirem
,