A temperatura em um ponto (
) é dada por
onde T é a temperatura em
e
são medidos em metros. Qual a direção de maior crescimento da temperatura em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a temperatura em um ponto
é dada pela função
, e queremos descobrir qual é a direção em que a temperatura cresce mais nesse ponto específico
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior variação de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora, juntando essas derivadas, o gradiente de
é:
Passo 7
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
na expressão do gradiente:
Simplificando os expoentes:
Então:
Passo 8
A direção de maior crescimento da temperatura é dada pela direção do gradiente. Para encontrar essa direção, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, dividir cada componente pelo comprimento do vetor.
Primeiro, calculamos o comprimento do vetor gradiente:
Calculando os quadrados:
Somando:
Vamos somar:
Então:
Passo 9
Agora, normalizamos o vetor gradiente dividindo cada componente pelo comprimento:
Simplificando as frações:
Resposta
A direção de maior crescimento da temperatura no ponto
é aproximadamente
.
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