A temperatura em um ponto ( ) é dada por onde T é a temperatura em e são medidos em metros. Qual a direção de maior crescimento da temperatura em ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a temperatura em um ponto é dada pela função , e queremos descobrir qual é a direção em que a temperatura cresce mais nesse ponto específico . Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior variação de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

E a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Agora, juntando essas derivadas, o gradiente de é:

Passo 7

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e na expressão do gradiente:
Simplificando os expoentes:
Então:

Passo 8

A direção de maior crescimento da temperatura é dada pela direção do gradiente. Para encontrar essa direção, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, dividir cada componente pelo comprimento do vetor.
Primeiro, calculamos o comprimento do vetor gradiente:
Calculando os quadrados:
Somando:
á
Vamos somar:
Então:

Passo 9

Agora, normalizamos o vetor gradiente dividindo cada componente pelo comprimento:
çã
Simplificando as frações:
çã

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura no ponto é aproximadamente .

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