A temperatura em um ponto ( x, y, z ) é dada por T(x, y, z)=200 e^-x^2-3 y^2-9 z^2 onde T é a temperatura em ^circ C e x, y, z são medidos em metros. Qual a direção de maior crescimento da temperatura em (2,-1,2) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a temperatura em um ponto é dada pela função , e queremos descobrir qual é a direção em que a temperatura cresce mais nesse ponto específico . Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior variação de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial Tpartial x = 200 cdot (-2x) cdot e^-x^2 - 3y^2 - 9z^2 = -400x cdot e^-x^2 - 3y^2 - 9z^2 em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de partial Tpartial y = 200 cdot (-6y) cdot e^-x^2 - 3y^2 - 9z^2 = -1200y cdot e^-x^2 - 3y^2 - 9z^2 em relação a :

Passo 5

E a derivada parcial de partial Tpartial z = 200 cdot (-18z) cdot e^-x^2 - 3y^2 - 9z^2 = -3600z cdot e^-x^2 - 3y^2 - 9z^2 em relação a :

Passo 6

Agora, juntando essas derivadas, o gradiente de nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y, partial Tpartial z ) = ( -400x e^-x^2 - 3y^2 - 9z^2, -1200y e^-x^2 - 3y^2 - 9z^2, -3600z e^-x^2 - 3y^2 - 9z^2 ) é:

Passo 7

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto nabla T(2, -1, 2) = ( -400 cdot 2 cdot e^-(2)^2 - 3(-1)^2 - 9(2)^2, -1200 cdot (-1) cdot e^-(2)^2 - 3(-1)^2 - 9(2)^2, -3600 cdot 2 cdot e^-(2)^2 - 3(-1)^2 - 9(2)^2 ) . Substituindo -(2)^2 - 3(-1)^2 - 9(2)^2 = -4 - 3(1) - 9(4) = -4 -3 -36 = -43 , nabla T(2, -1, 2) = ( -800 e^-43, 1200 e^-43, -7200 e^-43 ) e na expressão do gradiente:
Simplificando os expoentes:
Então:

Passo 8

A direção de maior crescimento da temperatura é dada pela direção do gradiente. Para encontrar essa direção, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, dividir cada componente pelo comprimento do vetor.
Primeiro, calculamos o comprimento do vetor gradiente:
|nabla T(2, -1, 2)| = raiz(-800 e^-43)^2 + (1200 e^-43)^2 + (-7200 e^-43)^2 = e^-43 raiz800^2 + 1200^2 + 7200^2
Calculando os quadrados:
800^2 = 640000, 1200^2 = 1,440,000, 7200^2 = 51,840,000
Somando:
640,000 + 1,440,000 + 51,840,000 = 54, (algo) (precisa verificar os cálculos) á
Vamos somar:
640,000 + 1,440,000 = 2,080,000
2,080,000 + 51,840,000 = 53,920,000
Então:
|nabla T(2, -1, 2)| = e^-43 cdot raiz53,920,000 = e^-43 cdot 7,344.26

Passo 9

Agora, normalizamos o vetor gradiente dividindo cada componente pelo comprimento:
Direção = nabla T(2, -1, 2)|nabla T(2, -1, 2)| = ( -800 e^-437,344.26 e^-43, 1200 e^-437,344.26 e^-43, -7200 e^-437,344.26 e^-43 ) = ( -8007,344.26, 12007,344.26, -72007,344.26 ) çã
Simplificando as frações:
Direção approx ( -0.109, 0.163, -0.980 ) çã

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura no ponto é aproximadamente .

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