O tempo que um cliente passa sendo atendido em um caixa automático segue uma distribuição exponencial com taxa
clientes por minuto. Calcule:
A probabilidade de o atendimento de um cliente demorar mais de 2 minutos.
A probabilidade de o atendimento de um cliente demorar mais de 2 minutos.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um problema onde o tempo que um cliente passa sendo atendido em um caixa automático segue uma distribuição exponencial com uma taxa de
clientes por minuto. O que precisamos calcular é a probabilidade de que o atendimento de um cliente demore mais de 2 minutos. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da distribuição exponencial e entender como calcular probabilidades relacionadas a ela.
Passo 2
Primeiro, é bom entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. No nosso caso, o “evento” é o atendimento a um cliente.
A taxa
representa a frequência com que os eventos ocorrem. Aqui,
significa que, em média, há 3 atendimentos por minuto.
Passo 3
A função de sobrevivência (ou função complementar de distribuição) da distribuição exponencial nos dá a probabilidade de que o tempo de atendimento
seja maior que um certo valor
. A fórmula é:
Onde:
-
é a probabilidade de o atendimento durar mais de minutos. -
é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2.71828). -
é a taxa da distribuição. -
é o tempo que estamos considerando.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula com os valores do nosso problema. Queremos saber
, ou seja, a probabilidade de o atendimento demorar mais de 2 minutos.
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular o valor de
:
Arredondando para cinco casas decimais, temos aproximadamente 0.00248.
Resposta
A probabilidade de o atendimento de um cliente demorar mais de 2 minutos é aproximadamente 0,00248 (ou 0,248 %).