O tempo que um cliente passa sendo atendido em um caixa automático segue uma distribuição exponencial com taxa lambda=3 clientes por minuto. Calcule:
A probabilidade de o atendimento de um cliente demorar mais de 2 minutos.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um problema onde o tempo que um cliente passa sendo atendido em um caixa automático segue uma distribuição exponencial com uma taxa de lambda = 3 clientes por minuto. O que precisamos calcular é a probabilidade de que o atendimento de um cliente demore mais de 2 minutos. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da distribuição exponencial e entender como calcular probabilidades relacionadas a ela.

Passo 2

Primeiro, é bom entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. No nosso caso, o “evento” é o atendimento a um cliente.
A taxa lambda representa a frequência com que os eventos ocorrem. Aqui, lambda = 3 significa que, em média, há 3 atendimentos por minuto.

Passo 3

A função de sobrevivência (ou função complementar de distribuição) da distribuição exponencial nos dá a probabilidade de que o tempo de atendimento T seja maior que um certo valor t. A fórmula é:
P(T > t) = e^-lambda t
Onde:
  • P(T > t) é a probabilidade de o atendimento durar mais de t minutos.
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).
  • lambda é a taxa da distribuição.
  • t é o tempo que estamos considerando.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula com os valores do nosso problema. Queremos saber P(T > 2), ou seja, a probabilidade de o atendimento demorar mais de 2 minutos.
Substituindo os valores:
P(T > 2) = e^-3 times 2 = e^-6

Passo 5

Vamos calcular o valor de e^-6:
e^-6 approx 000247875
Arredondando para cinco casas decimais, temos aproximadamente 0.00248.

Resposta

A probabilidade de o atendimento de um cliente demorar mais de 2 minutos é aproximadamente 0,00248 (ou 0,248 %).

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