O tempo médio para estudantes completarem o processo de matrícula em uma universidade tem sido de 55 minutos e desvio padrão 8,7 . Um diretor de uma universidade está testando um novo procedimento. O tempo de matrícula de 25 estudantes selecionados aleatoriamente foi registrado, resultando na média amostral de 50,2 minutos. Supondo que não houve melhoria no tempo médio ao adotar o novo procedimento, determine a probabilidade de que o tempo médio para os 25 estudantes dessa amostra tivesse sido 50,2 minutos ou menos. Suponha que os tempos de matrícula sejam distribuídos normalmente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo médio que os estudantes levam para se matricular na universidade, que geralmente é de 55 minutos, com um desvio padrão de 8,7 minutos. O diretor testou um novo procedimento e, em uma amostra de 25 estudantes, a média registrada foi de 50,2 minutos. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de, assumindo que o novo método não melhorou o tempo, a média dos tempos de matrícula dessa amostra ser de 50,2 minutos ou menos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente distribuição normal e cálculo de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos trabalhando com uma distribuição normal. A média populacional ( mu) é 55 minutos e o desvio padrão ( sigma) é 8,7 minutos. Quando pegamos uma amostra de tamanho n = 25, a média amostral ( barx) também segue uma distribuição normal, com média igual à média populacional e desvio padrão igual ao desvio padrão populacional dividido pela raiz de n. Isso é chamado de Distribuição da Média Amostral.

Passo 3

Vamos calcular o desvio padrão da média amostral, que chamamos de erro padrão ( sigmabarx):
sigmabarx = sigmaraizn = 8,7raiz25 = 8,75 = 1,74

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral seja menor ou igual a 50,2 minutos. Para isso, vamos padronizar essa média usando a fórmula do escore z:
z = barx - musigmabarx = 50,2 - 551,74 = -4,81,74 approx -2,76

Passo 5

Com o valor de z approx -2,76, vamos consultar a tabela da distribuição normal padrão ou usar uma calculadora de probabilidades para encontrar a probabilidade correspondente a esse z. A tabela nos dá a área à esquerda desse z, que representa a probabilidade de a média amostral ser menor ou igual a 50,2 minutos.

Resposta

A probabilidade de a média de 25 estudantes ser 50,2 minutos ou menos, assumindo que não houve melhoria no procedimento, é aproximadamente 0,003 ou 0,3%.

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