Seja X sim N(900,642). retiramos uma amostra de tamanho 30. Determinar:
P(896 <= barX <= 903). Resp.: 0,54726

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 900 $ e variância $ \sigma^2 = 642 $. Tiramos uma amostra de tamanho $ n = 30 $ e queremos descobrir a probabilidade de que a média da amostra $ \bar{X} $ esteja entre 896 e 903. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média.

Passo 2

Primeiro, lembramos que quando temos uma amostra de tamanho $ n $ de uma distribuição normal $ N(\mu, \sigma^2) $, a média amostral $ \bar{X} $ também segue uma distribuição normal com média $ \mu_{\bar{X}} = \mu $ e variância $ \sigma^2_{\bar{X}} = \frac{\sigma^2}{n} $. Ou seja:
n

Passo 3

Vamos calcular a média e o desvio padrão da distribuição amostral:
mubarX = mu = 900
sigmabarX = raizsigma^2n = raiz64230 approx raiz21,4 approx 4,63

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade $ P(896 \leq \bar{X} \leq 903) $. Para isso, vamos padronizar os valores usando a fórmula do escore z:
P(896 <= barX <= 903)

Passo 5

Vamos calcular os escores z para os valores 896 e 903:
Para $ \bar{X} = 896 $:
barX = 896
Para $ \bar{X} = 903 $:
z1 = 896 - 9004,63 approx -44,63 approx -0,86

Passo 6

Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses escores z.
P(z <= 0,65) approx 0,7422
P(z <= -0,86) approx 0,1949

Passo 7

A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(896 <= barX <= 903) = P(z <= 0,65) - P(z <= -0,86) approx 0,7422 - 0,1949 = 0,5473

Resposta

A probabilidade $ P(896 \leq \bar{X} \leq 903) $ é aproximadamente 0,5473.

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