Seja
. retiramos uma amostra de tamanho 30. Determinar:
. Resp.: 0,54726
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 900 $ e variância $ \sigma^2 = 642 $. Tiramos uma amostra de tamanho $ n = 30 $ e queremos descobrir a probabilidade de que a média da amostra $ \bar{X} $ esteja entre 896 e 903. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média.
Passo 2
Primeiro, lembramos que quando temos uma amostra de tamanho $ n $ de uma distribuição normal $ N(\mu, \sigma^2) $, a média amostral $ \bar{X} $ também segue uma distribuição normal com média $ \mu_{\bar{X}} = \mu $ e variância $ \sigma^2_{\bar{X}} = \frac{\sigma^2}{n} $. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a média e o desvio padrão da distribuição amostral:
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade $ P(896 \leq \bar{X} \leq 903) $. Para isso, vamos padronizar os valores usando a fórmula do escore z:
Passo 5
Vamos calcular os escores z para os valores 896 e 903:
Para $ \bar{X} = 896 $:
Para $ \bar{X} = 903 $:
Passo 6
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses escores z.
Passo 7
A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade $ P(896 \leq \bar{X} \leq 903) $ é aproximadamente 0,5473.