O tempo médio necessário para completar uma tarefa era de 15 minutos. Obtém-se uma amostra aleatória de nove indivíduos e, durante o período de teste, seus tempos para concluir a tarefa foram
,
e 15 . Assumindo que estes dados vêm de uma distribuição normal, teste a hipótese de que houve alteração no tempo médio para completar a tarefa, ao nível de
de significância.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de estatística aqui. A ideia é verificar se o tempo médio para completar uma tarefa mudou. Inicialmente, esse tempo era de 15 minutos. Tiramos uma amostra de 9 pessoas e medimos quanto tempo cada uma levou para fazer a tarefa. Os tempos registrados foram: 11, 12, 15, 10, 12, 14, 15, 13 e 15 minutos. Vamos usar estatísticas para ver se esse tempo médio realmente mudou, usando um nível de confiança de 5%.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa definir as hipóteses que vamos testar. Isso ajuda a estruturar nossa análise.
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Hipótese nula (H₀): O tempo médio para completar a tarefa continua sendo 15 minutos. Ou seja, não houve mudança.$ H_0: \mu = 15 $
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Hipótese alternativa (H₁): O tempo médio para completar a tarefa é diferente de 15 minutos. Ou seja, houve uma mudança.$ H_1: \mu \neq 15 $
Passo 3
Como a amostra é pequena (n=9) e a distribuição dos tempos é normal, vamos usar o teste t de Student para comparar a média da nossa amostra com a média conhecida (15 minutos).
Passo 4
Vamos calcular alguns valores importantes:
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Média da amostra ($ \bar{x} $):
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Desvio padrão da amostra (s):Primeiro, calculamos a soma dos quadrados das diferenças de cada valor em relação à média.Somando tudo:Agora, o desvio padrão:
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Estatística t:Usamos a fórmula do teste t:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para nosso teste. Como estamos usando um nível de significância de 5% e é um teste bilateral (porque queremos saber se houve mudança, seja para cima ou para baixo), procuramos o valor de t que deixa 2,5% de cada lado da distribuição.
Com 8 graus de liberdade (n-1 = 9-1 = 8), o valor crítico de t é aproximadamente ±2,306.
Passo 6
Comparamos a estatística t calculada com o valor crítico:
- Nosso t calculado foi -3,21
- O valor crítico é ±2,306
Como -3,21 < -2,306, isso significa que nosso t calculado está na região de rejeição.
Resposta
Como o valor calculado de t (≈ -3,21) está além do valor crítico (±2,306), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que houve uma alteração no tempo médio para completar a tarefa ao nível de 5% de significância.