O tempo médio necessário para completar uma tarefa era de 15 minutos. Obtém-se uma amostra aleatória de nove indivíduos e, durante o período de teste, seus tempos para concluir a tarefa foram 11,12,15,10, 12,14,15,13 e 15 . Assumindo que estes dados vêm de uma distribuição normal, teste a hipótese de que houve alteração no tempo médio para completar a tarefa, ao nível de 5 % de significância.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de estatística aqui. A ideia é verificar se o tempo médio para completar uma tarefa mudou. Inicialmente, esse tempo era de 15 minutos. Tiramos uma amostra de 9 pessoas e medimos quanto tempo cada uma levou para fazer a tarefa. Os tempos registrados foram: 11, 12, 15, 10, 12, 14, 15, 13 e 15 minutos. Vamos usar estatísticas para ver se esse tempo médio realmente mudou, usando um nível de confiança de 5%.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa definir as hipóteses que vamos testar. Isso ajuda a estruturar nossa análise.
  • Hipótese nula (H₀): O tempo médio para completar a tarefa continua sendo 15 minutos. Ou seja, não houve mudança.
    $ H_0: \mu = 15 $
  • Hipótese alternativa (H₁): O tempo médio para completar a tarefa é diferente de 15 minutos. Ou seja, houve uma mudança.
    $ H_1: \mu \neq 15 $

Passo 3

Como a amostra é pequena (n=9) e a distribuição dos tempos é normal, vamos usar o teste t de Student para comparar a média da nossa amostra com a média conhecida (15 minutos).

Passo 4

Vamos calcular alguns valores importantes:
  1. Média da amostra ($ \bar{x} $):
    barx
  2. Desvio padrão da amostra (s):
    Primeiro, calculamos a soma dos quadrados das diferenças de cada valor em relação à média.
    barx = 11 + 12 + 15 + 10 + 12 + 14 + 15 + 13 + 159 = 1179 = 13 minutos
    Somando tudo:
    & (11-13)^2 = 4 & (12-13)^2 = 1 & (15-13)^2 = 4 & (10-13)^2 = 9 & (12-13)^2 = 1 & (14-13)^2 = 1 & (15-13)^2 = 4 & (13-13)^2 = 0 & (15-13)^2 = 4
    Agora, o desvio padrão:
    4 + 1 + 4 + 9 + 1 + 1 + 4 + 0 + 4 = 28
  3. Estatística t:
    Usamos a fórmula do teste t:
    s = raiz289-1 = raiz288 = raiz3,5 approx 1,87 minutos

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para nosso teste. Como estamos usando um nível de significância de 5% e é um teste bilateral (porque queremos saber se houve mudança, seja para cima ou para baixo), procuramos o valor de t que deixa 2,5% de cada lado da distribuição.
Com 8 graus de liberdade (n-1 = 9-1 = 8), o valor crítico de t é aproximadamente ±2,306.

Passo 6

Comparamos a estatística t calculada com o valor crítico:
  • Nosso t calculado foi -3,21
  • O valor crítico é ±2,306
Como -3,21 < -2,306, isso significa que nosso t calculado está na região de rejeição.

Resposta

Como o valor calculado de t (≈ -3,21) está além do valor crítico (±2,306), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que houve uma alteração no tempo médio para completar a tarefa ao nível de 5% de significância.

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