O tempo de secagem de certo tipo de tinta é normalmente distribuído com média 75 minutos e desvio padrão de 9 minutos. Alguns engenheiros de materiais propuseram um novo aditivo para diminuir o tempo médio de secagem. Para testar a eficiência do novo produto foi medido o tempo de secagem em 25 locais e encontrou-se uma média de 71 minutos. Verifique ao nível de significância de
se compensa lançar o produto no mercado.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema sobre o tempo de secagem de uma tinta que segue uma distribuição normal. A média desse tempo é de 75 minutos, com um desvio padrão de 9 minutos. Os engenheiros criaram um novo aditivo que, segundo eles, pode diminuir esse tempo. Para testar se esse aditivo realmente funciona, eles mediram o tempo de secagem em 25 locais e acharam que a média agora é de 71 minutos. Nosso objetivo é verificar, com 5% de confiança, se vale a pena lançar esse novo produto no mercado. Para isso, vamos usar testes de hipóteses na estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos formular as hipóteses que queremos testar. A gente vai comparar a média com o novo aditivo (
) com a média antiga (
minutos).
-
Hipótese Nula (
): O aditivo não diminui o tempo de secagem. Ou seja, a média continua sendo 75 minutos. -
Hipótese Alternativa (
): O aditivo diminui o tempo de secagem. Então, a média passa a ser menor que 75 minutos.
Passo 3
Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos diz o quanto a média das nossas medições pode variar em relação à média verdadeira da população. É calculado pela fórmula:
Onde:
-
minutos (desvio padrão) -
(tamanho da amostra)
Substituindo:
Passo 4
Com o erro padrão calculado, vamos encontrar o valor do teste (z-score), que nos ajuda a ver o quão distante nossa média amostral está da média populacional, em termos do erro padrão.
A fórmula do z-score é:
Onde:
-
minutos (média da amostra) -
minutos (média populacional) -
Substituindo:
Passo 5
Vamos agora determinar o valor crítico para o nosso nível de significância de 5%. Como estamos testando se a média diminuiu, é um teste unilateral (a esquerda).
Consultando a tabela Z, para 5% de significância em um teste unilateral, o valor crítico é aproximadamente
.
Passo 6
Comparando o nosso z-score calculado com o valor crítico:
Isso significa que o nosso z-score está na região de rejeição da hipótese nula.
Resposta
Como o z-score calculado (-2,22) é menor que o valor crítico (-1,645), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que o novo aditivo reduz o tempo de secagem da tinta. Compensa lançar o produto no mercado!
Exercícios relacionados
Neste contexto, assinale o que for correto.
- A média aritmética é maior que 5,0 .
-
dos alunos tiraram notas maiores que 6. -
dos alunos tiraram notas menores que 5. - A média harmônica é menor que a média aritmética.
O tempo de vida de chips de computadores de uma determinada marca são normalmente distribuídos com parâmetros
horas e
horas. Qual a probabilidade aproximada de, num lote com 100 chips, pelo menos 20 terem tempo de vida menor que
horas?
Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:
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-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
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Qual deve ser o tamanho da amostra para que o intervalo com 99,5% de confiança para a média populacional tenha uma semi amplitude não superior a 1,5 ? Sabe-se que a variância populacional é de 23 .