O tempo de secagem de certo tipo de tinta é normalmente distribuído com média 75 minutos e desvio padrão de 9 minutos. Alguns engenheiros de materiais propuseram um novo aditivo para diminuir o tempo médio de secagem. Para testar a eficiência do novo produto foi medido o tempo de secagem em 25 locais e encontrou-se uma média de 71 minutos. Verifique ao nível de significância de se compensa lançar o produto no mercado.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema sobre o tempo de secagem de uma tinta que segue uma distribuição normal. A média desse tempo é de 75 minutos, com um desvio padrão de 9 minutos. Os engenheiros criaram um novo aditivo que, segundo eles, pode diminuir esse tempo. Para testar se esse aditivo realmente funciona, eles mediram o tempo de secagem em 25 locais e acharam que a média agora é de 71 minutos. Nosso objetivo é verificar, com 5% de confiança, se vale a pena lançar esse novo produto no mercado. Para isso, vamos usar testes de hipóteses na estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses que queremos testar. A gente vai comparar a média com o novo aditivo ( ) com a média antiga ( minutos).
  • Hipótese Nula ( ): O aditivo não diminui o tempo de secagem. Ou seja, a média continua sendo 75 minutos.
  • Hipótese Alternativa ( ): O aditivo diminui o tempo de secagem. Então, a média passa a ser menor que 75 minutos.

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos diz o quanto a média das nossas medições pode variar em relação à média verdadeira da população. É calculado pela fórmula:
Onde:
  • minutos (desvio padrão)
  • (tamanho da amostra)
Substituindo:

Passo 4

Com o erro padrão calculado, vamos encontrar o valor do teste (z-score), que nos ajuda a ver o quão distante nossa média amostral está da média populacional, em termos do erro padrão.
A fórmula do z-score é:
Onde:
  • minutos (média da amostra)
  • minutos (média populacional)
Substituindo:

Passo 5

Vamos agora determinar o valor crítico para o nosso nível de significância de 5%. Como estamos testando se a média diminuiu, é um teste unilateral (a esquerda).
Consultando a tabela Z, para 5% de significância em um teste unilateral, o valor crítico é aproximadamente .

Passo 6

Comparando o nosso z-score calculado com o valor crítico:
Isso significa que o nosso z-score está na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Como o z-score calculado (-2,22) é menor que o valor crítico (-1,645), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que o novo aditivo reduz o tempo de secagem da tinta. Compensa lançar o produto no mercado!

Exercícios relacionados

Neste contexto, assinale o que for correto.
  1. A média aritmética é maior que 5,0 .
  2. dos alunos tiraram notas maiores que 6.
  3. dos alunos tiraram notas menores que 5.
  4. A média harmônica é menor que a média aritmética.
O tempo de vida de chips de computadores de uma determinada marca são normalmente distribuídos com parâmetros horas e horas. Qual a probabilidade aproximada de, num lote com 100 chips, pelo menos 20 terem tempo de vida menor que horas?
Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:
-2 -1 0 1 2
Qual deve ser o tamanho da amostra para que o intervalo com 99,5% de confiança para a média populacional tenha uma semi amplitude não superior a 1,5 ? Sabe-se que a variância populacional é de 23 .