O tempo de vida de chips de computadores de uma determinada marca são normalmente distribuídos com parâmetros horas e horas. Qual a probabilidade aproximada de, num lote com 100 chips, pelo menos 20 terem tempo de vida menor que horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o tempo de vida de chips de computador que seguem uma distribuição normal, ou seja, uma curva em forma de sino. Os parâmetros dessa distribuição são a média ( horas) e o desvio padrão ( horas). O que a gente precisa descobrir é a probabilidade de, em um lote de 100 chips, pelo menos 20 deles terem um tempo de vida menor que horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a probabilidade de um único chip ter um tempo de vida menor que horas. Como o tempo de vida é normalmente distribuído, podemos usar a fórmula do escore z:
Aqui, horas, horas e horas. Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de z. Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, vemos que:
Isso significa que a probabilidade de um chip ter um tempo de vida menor que horas é aproximadamente 90,82%.

Passo 4

Como queremos saber a probabilidade de, em um lote de 100 chips, pelo menos 20 terem essa característica, podemos modelar isso usando a distribuição binomial. A distribuição binomial representa o número de sucessos em uma sequência de n experimentos independentes, cada um com probabilidade de sucesso p.
Aqui, cada chip é um “experimento”, n = 100, e a probabilidade de “sucesso” (ter menos de horas) é p = 0.9082.

Passo 5

Calculando exatamente a probabilidade de pelo menos 20 chips terem o tempo de vida menor que horas seria complexo devido ao grande número de termos. Por isso, podemos usar a aproximação normal para a distribuição binomial, já que n é grande.
Primeiro, calculamos a média ( ) e o desvio padrão ( ) da distribuição binomial:

Passo 6

Agora, queremos encontrar a probabilidade de X ≥ 20. Como estamos usando a aproximação normal, ajustamos para continuidade:
Calculamos o escore z para X = 19.5:

Passo 7

O valor de z = -24.83 está muito abaixo da média, praticamente na cauda da distribuição normal. A probabilidade associada a esse z é praticamente 0.

Resposta

A probabilidade aproximada de, num lote com 100 chips, pelo menos 20 terem tempo de vida menor que horas é praticamente 100%.

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    (a) Verifique que esta é de fato uma função densidade conjunta.
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    © Determine .
    (d) Determine .
Neste contexto, assinale o que for correto.
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