Responda os itens abaixo:
Um exame de múltipla escolha consiste em dez questões, cada uma com quatro possibilidades de escolha. A aprovação exige, no mínimo, 50% de acertos. Qual é a probabilidade de aprovação se o candidato comparece ao exame sem saber absolutamente nada, apelando apenas para o palpite?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre um exame de múltipla escolha com 10 questões, cada uma tendo 4 opções de resposta. Para passar, você precisa acertar pelo menos 50% das questões, ou seja, 5 respostas corretas. A pergunta é: qual a probabilidade de passar se você não sabe nada e está apenas chutando?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que nos ajuda a calcular a chance de obter um certo número de sucessos (neste caso, acertos) em um número fixo de tentativas (as 10 questões), considerando a mesma probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade de acertar uma única questão chutando. Como há 4 opções e apenas uma está correta, a chance de acertar é de $ \frac{1}{4} $ ou 25%, e a de errar é de $ \frac{3}{4} $ ou 75%.

Passo 3

Agora, queremos calcular a probabilidade de acertar pelo menos 5 questões. Isso significa que precisamos somar as probabilidades de acertar exatamente 5, 6, 7, 8, 9 e 10 questões.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa
  • $ n $ é o número total de tentativas
  • $ k $ é o número de sucessos desejados

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Para 5 acertos:
C(10, 5) = 252
P(5) = 252 times ( 14 )^5 times ( 34 )^5 approx 0,0585
  1. Para 6 acertos:
C(10, 6) = 210
P(6) = 210 times ( 14 )^6 times ( 34 )^4 approx 0,0162
  1. Para 7 acertos:
C(10, 7) = 120
P(7) = 120 times ( 14 )^7 times ( 34 )^3 approx 0,00309
  1. Para 8 acertos:
C(10, 8) = 45
P(8) = 45 times ( 14 )^8 times ( 34 )^2 approx 0,000386
  1. Para 9 acertos:
C(10, 9) = 10
P(9) = 10 times ( 14 )^9 times ( 34 )^1 approx 0,0000286
  1. Para 10 acertos:
C(10, 10) = 1
P(10) = 1 times ( 14 )^10 approx 0,000000954

Passo 5

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter a probabilidade total de passar:
P(passar) = P(5) + P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10) approx 0,0585 + 0,0162 + 0,00309 + 0,000386 + 0,0000286 + 0,000000954 approx 0,0782

Resposta

A probabilidade de aprovação chutando é de aproximadamente 7,82%.

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