O tempo para que um sistema computacional execute determinada tarefa é uma variável aleatória com distribuição normal, com média 320 segundos e desvio padrão de 7 segundos.
Se a tarefa é colocada para execução 200 vezes. Qual é a probabilidade de ela demorar mais do que 325 segundos em pelo menos 50 vezes?
Se a tarefa é colocada para execução 200 vezes. Qual é a probabilidade de ela demorar mais do que 325 segundos em pelo menos 50 vezes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo que um computador leva para executar uma tarefa, que varia de maneira normal com média de 320 segundos e desvio padrão de 7 segundos. A gente quer descobrir a probabilidade de, ao executar essa tarefa 200 vezes, ela demorar mais de 325 segundos em pelo menos 50 dessas vezes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a probabilidade de uma única tarefa demorar mais de 325 segundos. Como o tempo segue uma distribuição normal, podemos calcular essa probabilidade usando a função de distribuição acumulada (CDF).
A fórmula para padronizar um valor $ x $ na distribuição normal é:
Onde:
- $ \mu = 320 $ segundos é a média,
- $ \sigma = 7 $ segundos é o desvio padrão,
- $ x = 325 $ segundos é o valor que queremos avaliar.
Aplicando os valores:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de $ z $. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, descobrimos que:
Isso significa que a probabilidade de uma única tarefa demorar mais de 325 segundos é de aproximadamente 23,8%.
Passo 4
Com essa informação, queremos saber a probabilidade de, em 200 execuções, pelo menos 50 delas demorarem mais de 325 segundos. Isso segue uma distribuição binomial, onde:
- $ n = 200 $ é o número de tentativas,
- $ p = 0,238 $ é a probabilidade de sucesso (demorar mais de 325 segundos),
- $ k = 50 $ é o número mínimo de sucessos que estamos interessados.
A fórmula da probabilidade binomial é:
No entanto, calcular isso diretamente pode ser bem trabalhoso, então vamos usar uma aproximação normal para a distribuição binomial, desde que $ n $ seja grande e $ p $ não esteja muito próximo de 0 ou 1, o que se aplica aqui.
Passo 5
Para usar a aproximação normal, primeiro calculamos a média ($ \mu_b
\sigma_b $) da distribuição binomial:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ X \geq 50 $. Usamos a continuidade ao aplicar a aproximação normal:
Calculamos o valor de $ z $:
Passo 7
Finalmente, encontramos a probabilidade correspondente a esse valor de $ z $:
Isso significa que a probabilidade de, em 200 execuções, pelo menos 50 delas demorarem mais de 325 segundos é de aproximadamente 39%.
Resposta
A probabilidade de a tarefa demorar mais de 325 segundos em pelo menos 50 das 200 execuções é de aproximadamente 39%.