O tempo para que um sistema computacional execute determinada tarefa é uma variável aleatória com distribuição normal, com média 320 segundos e desvio padrão de 7 segundos.
Se a tarefa é colocada para execução 200 vezes. Qual é a probabilidade de ela demorar mais do que 325 segundos em pelo menos 50 vezes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo que um computador leva para executar uma tarefa, que varia de maneira normal com média de 320 segundos e desvio padrão de 7 segundos. A gente quer descobrir a probabilidade de, ao executar essa tarefa 200 vezes, ela demorar mais de 325 segundos em pelo menos 50 dessas vezes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade de uma única tarefa demorar mais de 325 segundos. Como o tempo segue uma distribuição normal, podemos calcular essa probabilidade usando a função de distribuição acumulada (CDF).
A fórmula para padronizar um valor $ x $ na distribuição normal é:
x
Onde:
  • $ \mu = 320 $ segundos é a média,
  • $ \sigma = 7 $ segundos é o desvio padrão,
  • $ x = 325 $ segundos é o valor que queremos avaliar.
Aplicando os valores:
z = x - musigma

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de $ z $. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, descobrimos que:
z
Isso significa que a probabilidade de uma única tarefa demorar mais de 325 segundos é de aproximadamente 23,8%.

Passo 4

Com essa informação, queremos saber a probabilidade de, em 200 execuções, pelo menos 50 delas demorarem mais de 325 segundos. Isso segue uma distribuição binomial, onde:
  • $ n = 200 $ é o número de tentativas,
  • $ p = 0,238 $ é a probabilidade de sucesso (demorar mais de 325 segundos),
  • $ k = 50 $ é o número mínimo de sucessos que estamos interessados.
A fórmula da probabilidade binomial é:
n = 200
No entanto, calcular isso diretamente pode ser bem trabalhoso, então vamos usar uma aproximação normal para a distribuição binomial, desde que $ n $ seja grande e $ p $ não esteja muito próximo de 0 ou 1, o que se aplica aqui.

Passo 5

Para usar a aproximação normal, primeiro calculamos a média ($ \mu_b mub ã \sigma_b $) da distribuição binomial:
sigmab
mub = n times p = 200 times 0,238 = 47,6

Passo 6

Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ X \geq 50 $. Usamos a continuidade ao aplicar a aproximação normal:
X >= 50
Calculamos o valor de $ z $:
P(X >= 50) approx P(Z >= 49,5 - 47,66,81)

Passo 7

Finalmente, encontramos a probabilidade correspondente a esse valor de $ z $:
z
Isso significa que a probabilidade de, em 200 execuções, pelo menos 50 delas demorarem mais de 325 segundos é de aproximadamente 39%.

Resposta

A probabilidade de a tarefa demorar mais de 325 segundos em pelo menos 50 das 200 execuções é de aproximadamente 39%.

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