Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, X e Y, dada por para e . A matéria envolvida aqui é Probabilidade e Estatística, principalmente sobre funções densidade conjunta, marginais e probabilidades condicionais. Vamos precisar verificar se essa função realmente é uma função densidade, encontrar a função densidade marginal de X, calcular probabilidades específicas e trabalhar com probabilidades condicionais.
Passo 2
Letra a: Verificar se é uma função densidade conjunta.
Uma função é uma função densidade de probabilidade conjunta se ela satisfaz duas condições:
Não-negatividade: para todos os e .
Integral total igual a 1: .
Vamos verificar essas duas condições.
Primeiro, observando a função , vemos que para e , todos os termos dentro dos parênteses são positivos, então é sempre positivo nessa região.
Segundo, vamos calcular a integral dupla:
Primeiro integramos em relação a :
Agora, integramos isso em relação a :
Como a integral total é 1, a função satisfaz as duas condições.
Passo 3
Letra b: Calcular a função densidade de X, fX(x) = integral0^2 f(x, y) , dy = integral0^2 67(x^2 + xy2) , dy .
A função densidade marginal de fX(x) = 67 (2x^2 + x) = 12x^2 + 6x7 = 6(2x^2 + x)7 , fX(x) = 6(2x^2 + x)7 para 0 < x < 1 , é obtida integrando a função densidade conjunta em relação a :
Já fizemos essa integral no passo anterior e encontramos:
Portanto,
Passo 4
Letra c: Determinar P(X > Y) = integral0^1 integral0^x 67(x^2 + xy2) , dy , dx .
Queremos calcular a probabilidade de que integral0^x (x^2 + xy2) , dy = x^2y + x4y^2 |0^x = x^3 + x4x^2 = x^3 + x^34 = 5x^34 seja maior que 67 integral0^1 5x^34 , dx = 67 times 54 integral0^1 x^3 , dx = 1514 times ( x^44 ) |0^1 = 1514 times 14 = 1556 , ou seja, . Para isso, vamos integrar a função densidade conjunta sobre a região onde .
Primeiro, identificamos os limites de integração. Como varia de 0 a 1 e de 0 a 2, mas precisamos de . No entanto, como pode ser até 2 e até 1, só ocorre quando vai de 0 a e vai de 0 a 1.
Então,
Primeiro integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Passo 5
Letra d: Determinar P(Y > 0.5 mid X < 0.5) = P(Y > 0.5 ,e, X < 0.5)P(X < 0.5) .