• A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
    (a) Verifique que esta é de fato uma função densidade conjunta.
    (b) Calcule a função densidade de X .
    © Determine .
    (d) Determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, X e Y, dada por para e . A matéria envolvida aqui é Probabilidade e Estatística, principalmente sobre funções densidade conjunta, marginais e probabilidades condicionais. Vamos precisar verificar se essa função realmente é uma função densidade, encontrar a função densidade marginal de X, calcular probabilidades específicas e trabalhar com probabilidades condicionais.

Passo 2

Letra a: Verificar se é uma função densidade conjunta.
Uma função é uma função densidade de probabilidade conjunta se ela satisfaz duas condições:
  1. Não-negatividade: para todos os e .
  2. Integral total igual a 1: .
Vamos verificar essas duas condições.
Primeiro, observando a função , vemos que para e , todos os termos dentro dos parênteses são positivos, então é sempre positivo nessa região.
Segundo, vamos calcular a integral dupla:
Primeiro integramos em relação a :
Agora, integramos isso em relação a :
Como a integral total é 1, a função satisfaz as duas condições.

Passo 3

Letra b: Calcular a função densidade de X, .
A função densidade marginal de , , é obtida integrando a função densidade conjunta em relação a :
Já fizemos essa integral no passo anterior e encontramos:
Portanto,

Passo 4

Letra c: Determinar .
Queremos calcular a probabilidade de que seja maior que , ou seja, . Para isso, vamos integrar a função densidade conjunta sobre a região onde .
Primeiro, identificamos os limites de integração. Como varia de 0 a 1 e de 0 a 2, mas precisamos de . No entanto, como pode ser até 2 e até 1, só ocorre quando vai de 0 a e vai de 0 a 1.
Então,
Primeiro integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 5

Letra d: Determinar .
Queremos encontrar a probabilidade condicional de dado que , ou seja:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Denominador:
Usando a função densidade marginal de :
Calculando:
Numerador:
Vamos integrar a função densidade conjunta sobre e . Os limites de são de 0 a 0.5 e para de 0.5 a 2.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Substituindo :
Finalmente, a probabilidade condicional é:

Resposta

a) Sim, é uma função densidade conjunta.
b) A função densidade de é para .
c) .
d) .

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