• A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por f(x, y)=67(x^2+x y2) 0
    (a) Verifique que esta é de fato uma função densidade conjunta.
    (b) Calcule a função densidade de X .
    © Determine PX>Y.
    (d) Determine PY>0.5 mid X<0.5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, X e Y, dada por para e . A matéria envolvida aqui é Probabilidade e Estatística, principalmente sobre funções densidade conjunta, marginais e probabilidades condicionais. Vamos precisar verificar se essa função realmente é uma função densidade, encontrar a função densidade marginal de X, calcular probabilidades específicas e trabalhar com probabilidades condicionais.

Passo 2

Letra a: Verificar se integral0^1 integral0^2 67(x^2 + xy2) , dy , dx é uma função densidade conjunta.
Uma função é uma função densidade de probabilidade conjunta se ela satisfaz duas condições:
  1. Não-negatividade: integral0^2 (x^2 + xy2) , dy = x^2y + x4y^2 |0^2 = x^2(2) + x4(4) = 2x^2 + x para todos os 67 integral0^1 (2x^2 + x) , dx = 67 ( 2x^33 + x^22 ) |0^1 = 67 ( 23 + 12 ) = 67 ( 46 + 36 ) = 67 times 76 = 1 e .
  2. Integral total igual a 1: .
Vamos verificar essas duas condições.
Primeiro, observando a função , vemos que para e , todos os termos dentro dos parênteses são positivos, então é sempre positivo nessa região.
Segundo, vamos calcular a integral dupla:
Primeiro integramos em relação a :
Agora, integramos isso em relação a :
Como a integral total é 1, a função satisfaz as duas condições.

Passo 3

Letra b: Calcular a função densidade de X, fX(x) = integral0^2 f(x, y) , dy = integral0^2 67(x^2 + xy2) , dy .
A função densidade marginal de fX(x) = 67 (2x^2 + x) = 12x^2 + 6x7 = 6(2x^2 + x)7 , fX(x) = 6(2x^2 + x)7 para 0 < x < 1 , é obtida integrando a função densidade conjunta em relação a :
Já fizemos essa integral no passo anterior e encontramos:
Portanto,

Passo 4

Letra c: Determinar P(X > Y) = integral0^1 integral0^x 67(x^2 + xy2) , dy , dx .
Queremos calcular a probabilidade de que integral0^x (x^2 + xy2) , dy = x^2y + x4y^2 |0^x = x^3 + x4x^2 = x^3 + x^34 = 5x^34 seja maior que 67 integral0^1 5x^34 , dx = 67 times 54 integral0^1 x^3 , dx = 1514 times ( x^44 ) |0^1 = 1514 times 14 = 1556 , ou seja, . Para isso, vamos integrar a função densidade conjunta sobre a região onde .
Primeiro, identificamos os limites de integração. Como varia de 0 a 1 e de 0 a 2, mas precisamos de . No entanto, como pode ser até 2 e até 1, só ocorre quando vai de 0 a e vai de 0 a 1.
Então,
Primeiro integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 5

Letra d: Determinar P(Y > 0.5 mid X < 0.5) = P(Y > 0.5 ,e, X < 0.5)P(X < 0.5) .
Queremos encontrar a probabilidade condicional de P(X < 0.5) = integral0^0.5 fX(x) , dx = integral0^0.5 6(2x^2 + x)7 , dx = 67 ( 2x^33 + x^22 ) |0^0.5 dado que 67 ( 2(0.5)^33 + (0.5)^22 ) = 67 ( 2 times 0.1253 + 0.252 ) = 67 ( 0.253 + 0.125 ) = 67 ( 0.0833 + 0.125 ) = 67 times 0.2083 approx 0.1786 , ou seja:
P(Y > 0.5 ,e, X < 0.5) = integral0^0.5 integral0.5^2 67(x^2 + xy2) , dy , dx
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Denominador: integral0.5^2 (x^2 + xy2) , dy = x^2y + x4y^2 |0.5^2 = x^2(2) + x4(4) - ( x^2(0.5) + x4(0.25) ) = 2x^2 + x - 0.5x^2 - x16 = 1.5x^2 + 15x16
Usando a função densidade marginal de 67 integral0^0.5 (1.5x^2 + 15x16) , dx = 67 ( 1.5x^33 + 15x^232 ) |0^0.5 = 67 ( 0.5x^3 + 15x^232 ) |0^0.5 :
67 ( 0.5 times (0.5)^3 + 15 times (0.5)^232 ) = 67 ( 0.5 times 0.125 + 15 times 0.2532 ) = 67 ( 0.0625 + 3.7532 ) = 67 ( 0.0625 + 0.1171875 ) = 67 times 0.1796875 approx 0.1542
Calculando:
P(Y > 0.5 mid X < 0.5) = 0.15420.1786 approx 0.8636 ou 86.36%
Numerador:
Vamos integrar a função densidade conjunta sobre e . Os limites de são de 0 a 0.5 e para de 0.5 a 2.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Substituindo :
Finalmente, a probabilidade condicional é:

Resposta

a) Sim, é uma função densidade conjunta.
b) A função densidade de é para .
c) .
d) .

Exercícios relacionados