A tensão e a corrente em um circuito série de dois elementos são, respectivamente, V=150 ang<= 120^circ V e imath=7,5 ang<= 90^circ A. Que percentagem de variação da resistência acarretará uma corrente de 12 A e qual o ângulo associado a essa corrente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito série com tensão e corrente dadas como números complexos. O conteúdo principal aqui é Circuitos em Série e vamos precisar usar fórmulas de impedância e operação com números complexos para resolver. Nosso objetivo é descobrir de quanto a resistência precisa variar para que a corrente passe de 7,5 A para 12 A e também encontrar o ângulo dessa nova corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma tensão e corrente em forma de fasor. A tensão é V = 150 ang<= 120^circ V e a corrente inicial é imath = 7,5 ang<= 90^circ A. Em circuitos AC, a relação entre tensão, corrente e impedância Z é dada por:
V = imath cdot Z
Para encontrar a impedância inicial, rearranjamos a fórmula:
Z = Vimath = 150 ang<= 120^circ7,5 ang<= 90^circ = 20 ang<= 30^circ Omega
Isso significa que a impedância original do circuito é 20 ang<= 30^circ Omega.

Passo 3

Sabendo que a impedância Z pode ser decomposta em resistência R e reatância X usando trigonometria:
R = |Z| cdot cos(theta) = 20 cdot cos(30^circ) approx 17,32 Omega
X = |Z| cdot sin(theta) = 20 cdot sin(30^circ) = 10 Omega
Aqui, theta é o ângulo da impedância. Então, temos R = 17,32 Omega e X = 10 Omega.

Passo 4

Agora, queremos que a corrente seja 12 A. Usando a mesma tensão V = 150 ang<= 120^circ V, a nova impedância Z' será:
Z' = Vimath' = 150 ang<= 120^circ12 ang<= theta' = 12,5 ang<= (120^circ - theta') Omega
Onde theta' é o novo ângulo da corrente que queremos encontrar.

Passo 5

Sabemos que a reatância X permanece a mesma (já que estamos apenas variando a resistência). Então, podemos igualar a parte imaginária:
10 = 12,5 cdot sin(120^circ - theta')
Resolvendo para theta':
sin(120^circ - theta') = 1012,5 = 0,8
120^circ - theta' = arcsin(0,8) approx 53,13^circ
theta' = 120^circ - 53,13^circ approx 66,87^circ

Passo 6

Agora, vamos encontrar a nova resistência R' usando a parte real da nova impedância:
R' = 12,5 cdot cos(53,13^circ) approx 12,5 cdot 0,6 = 7,5 Omega
A resistência original era 17,32 Omega, então a variação é:
De
Para achar a porcentagem de variação:
% De
Isso significa uma redução de aproximadamente 56,7% na resistência.

Resposta

A resistência precisa diminuir cerca de 56,7% e o ângulo associado à nova corrente é aproximadamente 66,9°.

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