A tensão superficial pode causar efeitos interessantes em fluidos. Ondas capilares podem ser formadas na superfície de um fluido como resultado da tensão superficial. Elas têm comprimentos de onda curtos. A velocidade de uma onda capilar (V) depende da tensão superficial (
), do comprimento de onda
e da massa específica do líquido (
). (a) Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão fala sobre ondas capilares na superfície de um fluido, que dependem da tensão superficial (
), do comprimento de onda (
) e da massa específica do líquido (
). Nosso objetivo aqui é encontrar os parâmetros adimensionais que caracterizam esse problema. Para isso, vamos usar a Análise Dimensional, que nos ajuda a combinar as variáveis de maneira que eliminemos as unidades, criando parâmetros sem dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e as suas dimensões fundamentais:
- Velocidade da onda capilar,
: [M] = massa, [L] = comprimento, [T] = tempo. - Tensão superficial,
: tem dimensões de força por unidade de comprimento. A força tem dimensão [M][L][T] , então = [M][T] . - Comprimento de onda,
: dimensão [L]. - Massa específica,
: massa por unidade de volume, então [M][L] .
Passo 3
Agora, vamos identificar as dimensões fundamentais envolvidas no problema. As variáveis mencionadas dependem de:
- Massa (M)
- Comprimento (L)
- Tempo (T)
Isso nos dá três dimensões fundamentais.
Passo 4
De acordo com o Teorema de Buckingham Pi, podemos formar
parâmetros adimensionais, onde
é o número de variáveis e
é o número de dimensões fundamentais. Aqui, temos 4 variáveis (
,
,
,
) e 3 dimensões fundamentais (M, L, T), então
. Mas geralmente buscamos múltiplos parâmetros, então vamos formar grupos dimensionais.
Passo 5
Vamos escolher
,
, e
como nossas variáveis repetidas, já que elas contêm todas as dimensões fundamentais. Agora, formamos o parâmetro adimensional
combinando
com essas variáveis:
Resposta
O parâmetro adimensional que caracteriza o problema é
.