A tensão superficial pode causar efeitos interessantes em fluidos. Ondas capilares podem ser formadas na superfície de um fluido como resultado da tensão superficial. Elas têm comprimentos de onda curtos. A velocidade de uma onda capilar (V) depende da tensão superficial ( ), do comprimento de onda e da massa específica do líquido ( ). (a) Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão fala sobre ondas capilares na superfície de um fluido, que dependem da tensão superficial ( ), do comprimento de onda ( ) e da massa específica do líquido ( ). Nosso objetivo aqui é encontrar os parâmetros adimensionais que caracterizam esse problema. Para isso, vamos usar a Análise Dimensional, que nos ajuda a combinar as variáveis de maneira que eliminemos as unidades, criando parâmetros sem dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e as suas dimensões fundamentais:
  • Velocidade da onda capilar, : [M] = massa, [L] = comprimento, [T] = tempo.
  • Tensão superficial, : tem dimensões de força por unidade de comprimento. A força tem dimensão [M][L][T] , então = [M][T] .
  • Comprimento de onda, : dimensão [L].
  • Massa específica, : massa por unidade de volume, então [M][L] .

Passo 3

Agora, vamos identificar as dimensões fundamentais envolvidas no problema. As variáveis mencionadas dependem de:
  • Massa (M)
  • Comprimento (L)
  • Tempo (T)
Isso nos dá três dimensões fundamentais.

Passo 4

De acordo com o Teorema de Buckingham Pi, podemos formar parâmetros adimensionais, onde é o número de variáveis e é o número de dimensões fundamentais. Aqui, temos 4 variáveis ( , , , ) e 3 dimensões fundamentais (M, L, T), então . Mas geralmente buscamos múltiplos parâmetros, então vamos formar grupos dimensionais.

Passo 5

Vamos escolher , , e como nossas variáveis repetidas, já que elas contêm todas as dimensões fundamentais. Agora, formamos o parâmetro adimensional combinando com essas variáveis:

Resposta

O parâmetro adimensional que caracteriza o problema é .

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