A tensão superficial pode causar efeitos interessantes em fluidos. Ondas capilares podem ser formadas na superfície de um fluido como resultado da tensão superficial. Elas têm comprimentos de onda curtos. A velocidade de uma onda capilar (V) depende da tensão superficial ( sigma ), do comprimento de onda (lambda) e da massa específica do líquido ( rho ). (a) Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão fala sobre ondas capilares na superfície de um fluido, que dependem da tensão superficial ( sigma), do comprimento de onda ( lambda) e da massa específica do líquido ( rho). Nosso objetivo aqui é encontrar os parâmetros adimensionais que caracterizam esse problema. Para isso, vamos usar a Análise Dimensional, que nos ajuda a combinar as variáveis de maneira que eliminemos as unidades, criando parâmetros sem dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e as suas dimensões fundamentais:
  • Velocidade da onda capilar, V: [M] = massa, [L] = comprimento, [T] = tempo.
  • Tensão superficial, sigma: tem dimensões de força por unidade de comprimento. A força tem dimensão [M][L][T] ^-2, então sigma = [M][T] ^-2.
  • Comprimento de onda, lambda: dimensão [L].
  • Massa específica, rho: massa por unidade de volume, então [M][L] ^-3.

Passo 3

Agora, vamos identificar as dimensões fundamentais envolvidas no problema. As variáveis mencionadas dependem de:
  • Massa (M)
  • Comprimento (L)
  • Tempo (T)
Isso nos dá três dimensões fundamentais.

Passo 4

De acordo com o Teorema de Buckingham Pi, podemos formar k = n - m parâmetros adimensionais, onde n é o número de variáveis e m é o número de dimensões fundamentais. Aqui, temos 4 variáveis ( V, sigma, lambda, rho) e 3 dimensões fundamentais (M, L, T), então k = 4 - 3 = 1. Mas geralmente buscamos múltiplos parâmetros, então vamos formar grupos dimensionais.

Passo 5

Vamos escolher sigma, lambda, e rho como nossas variáveis repetidas, já que elas contêm todas as dimensões fundamentais. Agora, formamos o parâmetro adimensional Pi combinando V com essas variáveis:
Pi = V cdot rho cdot lambdasigma

Resposta

O parâmetro adimensional que caracteriza o problema é Pi = dfracV cdot rho cdot lambdasigma.

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