Um gás ideal (cp=36 J / kg cdot K) a 500 Ke 1 atm , é comprimido até 10 atm e , então, após uma apropriada troca de calor, é levado ao processo. Toda essa operação se realiza em um ambiente a 300 K . O trabalho necessário para a operação é de 20 kJ / mol de gás. Compare esse valor com:
O mínimo trabalho requerido para uma compressāo adiabática reversivel do gás. Note que a temperatura final do gás será maior do que 500 K .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a compressão de um gás ideal. A gente tem um gás a 500 K e 1 atm que é comprimido até 10 atm. O trabalho necessário pra essa compressão é de 20 kJ/mol. Queremos comparar esse valor com o trabalho mínimo que seria necessário se a compressão fosse adiabática e reversível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e a relação entre pressão e temperatura nesses processos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma compressão adiabática reversível. Nesse tipo de compressão, não há troca de calor com o ambiente (adiabática) e o processo é feito de forma lenta e controlada, para que o sistema esteja sempre em equilíbrio (reversível). A relação entre pressão e temperatura em uma compressão adiabática é dada pela equação:
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
onde é a razão dos calores específicos a pressão constante ( ) e a volume constante ( ).

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar gamma = CpCv implies Cv = Cpgamma . Sabemos que . Para calcular , precisamos também de . A relação entre e é:
Mas, para um gás ideal, sabemos que , onde é a constante dos gases. Vamos usar a relação de molaridade.

Passo 4

Como o trabalho é dado por mol, vamos considerar a constante dos gases por mol, que é Cp - Cv = R implies Cv = Cp - R . Podemos reescrever a relação:
Cv = 36 , J/kg·K - 8,314 , J/mol·K
Substituindo os valores:
Aqui, percebemos que as unidades não estão compatíveis. Isso indica que precisamos ajustar para ser por mol. Para isso, precisamos da massa molar do gás, mas ela não foi fornecida. Vamos assumir que dado é por mol para simplificar.

Passo 5

Assumindo Cv = Cp - R = 36 - 8,314 = 27,686 , J/mol·K , então:
gamma = CpCv = 3627,686 approx 1,30
Agora, calculamos :

Passo 6

Para uma compressão adiabática reversível, o trabalho mínimo realizado é dado por:
Wadiabático = P1 V1 - P2 V2gamma - 1 á
Mas como não temos volumes, vamos usar a relação entre temperaturas e pressões para encontrar a temperatura final ( T2T1 ) = ( P2P1 )^gamma -1gamma :
( T2500 ) = ( 101 )^0,301,30 approx 10^0,2308 approx 1,70
Substituindo os valores:
T2 = 500 times 1,70 = 850 , K
Então,

Passo 7

Agora, calculamos o trabalho mínimo usando a fórmula:
Wadiabático = n Cv (T2 - T1) á
Primeiro, precisamos do número de mols. Porém, como o trabalho foi dado por mol, consideramos Wadiabático = 1 times 27,686 times (850 - 500) = 27,686 times 350 approx 9680 , J/mol = 9,68 , kJ/mol . Então:
á

Resposta

O trabalho mínimo requerido para uma compressão adiabática reversível desse gás é aproximadamente 9,68 kJ/mol, que é menor que os 20 kJ/mol fornecidos no exercício.

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