O teorema fundamental para divergentes é definido por:
integralV(nabla cdot f) d V=ointS f cdot d A
em que f é uma função vetorial qualquer. Por outro lado, para essa mesma função f, o teorema fundamental para rotacionais é definido por:
integralS(nabla times f) cdot d A=ointC f cdot d l
Em posse dessas informações, obtenha as equações de Maxwell para o eletromagnetismo em suas formas diferenciais ao utilizar os teoremas anteriormente mencionados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que nos pede para transformar as equações de Maxwell do eletromagnetismo de sua forma integral para a forma diferencial. Para isso, vamos usar dois teoremas fundamentais: o Teorema da Divergência e o Teorema de Stokes (que lida com rotacionais). Esses teoremas nos ajudam a relacionar integrais sobre volumes e superfícies com integrais em contornos fechados, facilitando a passagem da forma integral para a diferencial das equações de Maxwell.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell em sua forma integral. Elas são quatro:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
    ointS E cdot dA = Qintvarepsilon0
  2. Lei de Gauss para o campo magnético:
    ointS B cdot dA = 0
  3. Lei de Faraday da indução:
    ointC E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
    ointC B cdot dl = mu0 Iint + mu0 varepsilon0 ddt integralS E cdot dA
Nos próximos passos, vamos aplicar os teoremas que você mencionou para converter cada uma dessas equações para sua forma diferencial.

Passo 3

Vamos começar com a Lei de Gauss para o campo elétrico:
ointS E cdot dA = Qintvarepsilon0
Aqui, E é o campo elétrico e Qint é a carga elétrica dentro do volume V cercado pela superfície S. Para passar para a forma diferencial, usamos o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície do divergente de um campo vetorial com a integral de volume desse divergente.
Aplicando o teorema:
integralV (nabla cdot E) , dV = ointS E cdot dA = Qintvarepsilon0
Como isso vale para qualquer volume V, podemos igualar as densidades:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Onde rho é a densidade de carga elétrica.

Passo 4

Agora, vamos para a Lei de Gauss para o campo magnético:
ointS B cdot dA = 0
Aqui, B é o campo magnético. Aplicando novamente o Teorema da Divergência:
integralV (nabla cdot B) , dV = ointS B cdot dA = 0
Como isso deve ser válido para qualquer volume V, concluímos:
nabla cdot B = 0
Isso reflete o fato de que não existem monopolos magnéticos; as linhas de campo magnético são sempre fechadas.

Passo 5

Seguimos para a Lei de Faraday da indução:
ointC E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
Aqui, C é uma curva fechada e S é uma superfície limitada por C. Para converter isso para a forma diferencial, usamos o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva C com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície S contendo C.
Aplicando o teorema:
integralS (nabla times E) cdot dA = ointC E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
Como isso deve valer para qualquer superfície S, igualamos as densidades de cálculo:
nabla times E = -partial Bpartial t

Passo 6

Por último, temos a Lei de Ampère-Maxwell:
ointC B cdot dl = mu0 Iint + mu0 varepsilon0 ddt integralS E cdot dA
Neste caso, Iint é a corrente elétrica que atravessa a superfície S. Novamente, aplicamos o Teorema de Stokes para relacionar a integral de linha com o rotacional do campo magnético:
integralS (nabla times B) cdot dA = ointC B cdot dl = mu0 Iint + mu0 varepsilon0 ddt integralS E cdot dA
Sabemos que a corrente total Iint inclui a corrente de deslocamento, que é a parte envolvendo a variação temporal do campo elétrico. Para que isso valha para qualquer superfície S, igualamos as densidades:
nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Onde J é a densidade de corrente elétrica.

Resposta

Assim, ao aplicar os teoremas da divergência e de Stokes, obtemos as equações de Maxwell em suas formas diferenciais:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
    nabla cdot E = rhovarepsilon0
  2. Lei de Gauss para o campo magnético:
    nabla cdot B = 0
  3. Lei de Faraday da indução:
    nabla times E = -partial Bpartial t
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
    nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 partial Epartial t

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