O teorema fundamental para divergentes é definido por:
em que
é uma função vetorial qualquer. Por outro lado, para essa mesma função
, o teorema fundamental para rotacionais é definido por:
Em posse dessas informações, obtenha as equações de Maxwell para o eletromagnetismo em suas formas diferenciais ao utilizar os teoremas anteriormente mencionados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que nos pede para transformar as equações de Maxwell do eletromagnetismo de sua forma integral para a forma diferencial. Para isso, vamos usar dois teoremas fundamentais: o Teorema da Divergência e o Teorema de Stokes (que lida com rotacionais). Esses teoremas nos ajudam a relacionar integrais sobre volumes e superfícies com integrais em contornos fechados, facilitando a passagem da forma integral para a diferencial das equações de Maxwell.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell em sua forma integral. Elas são quatro:
-
Lei de Gauss para o campo elétrico:
-
Lei de Gauss para o campo magnético:
-
Lei de Faraday da indução:
-
Lei de Ampère-Maxwell:
Nos próximos passos, vamos aplicar os teoremas que você mencionou para converter cada uma dessas equações para sua forma diferencial.
Passo 3
Vamos começar com a Lei de Gauss para o campo elétrico:
Aqui,
é o campo elétrico e
é a carga elétrica dentro do volume
cercado pela superfície
. Para passar para a forma diferencial, usamos o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície do divergente de um campo vetorial com a integral de volume desse divergente.
Aplicando o teorema:
Como isso vale para qualquer volume
, podemos igualar as densidades:
Onde
é a densidade de carga elétrica.
Passo 4
Agora, vamos para a Lei de Gauss para o campo magnético:
Aqui,
é o campo magnético. Aplicando novamente o Teorema da Divergência:
Como isso deve ser válido para qualquer volume
, concluímos:
Isso reflete o fato de que não existem monopolos magnéticos; as linhas de campo magnético são sempre fechadas.
Passo 5
Seguimos para a Lei de Faraday da indução:
Aqui,
é uma curva fechada e
é uma superfície limitada por
. Para converter isso para a forma diferencial, usamos o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
contendo
.
Aplicando o teorema:
Como isso deve valer para qualquer superfície
, igualamos as densidades de cálculo:
Passo 6
Por último, temos a Lei de Ampère-Maxwell:
Neste caso,
é a corrente elétrica que atravessa a superfície
. Novamente, aplicamos o Teorema de Stokes para relacionar a integral de linha com o rotacional do campo magnético:
Sabemos que a corrente total
inclui a corrente de deslocamento, que é a parte envolvendo a variação temporal do campo elétrico. Para que isso valha para qualquer superfície
, igualamos as densidades:
Onde
é a densidade de corrente elétrica.
Resposta
Assim, ao aplicar os teoremas da divergência e de Stokes, obtemos as equações de Maxwell em suas formas diferenciais:
-
Lei de Gauss para o campo elétrico:
-
Lei de Gauss para o campo magnético:
-
Lei de Faraday da indução:
-
Lei de Ampère-Maxwell: