Mostre que, se a primeira derivada de uma função complexa
em um ponto arbitrário
pode ser escrita como
então sua a derivada de ordem
será dada por
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o problema que temos aqui. A questão nos pede para demonstrar que, se a primeira derivada de uma função complexa $ f(z) $ em um ponto $ z = z_0 $ pode ser escrita da seguinte forma:
então a derivada de ordem $ n $ dessa função em $ z_0 $ será:
Para resolver esse exercício, vamos utilizar conhecimentos de Cálculo Complexo, especificamente sobre Fórmulas de Cauchy para derivadas de funções holomórficas.
Passo 2
Vamos começar lembrando a Fórmula de Cauchy para Derivadas. Essa fórmula nos permite calcular derivadas de ordem superior de funções analíticas usando integrais de contorno.
A fórmula básica de Cauchy para a $ n $-ésima derivada de $ f(z) $ em $ z_0 $ é:
Onde:
- $ n! $ é o fatorial de $ n $.
- $ C $ é um contorno fechado no qual $ f(z) $ é analítica dentro e sobre $ C $.
- $ z_0 $ está dentro do contorno $ C $.
Nosso objetivo é mostrar que essa fórmula é válida, partindo da expressão dada para a primeira derivada.
Passo 3
Começamos com a expressão fornecida para a primeira derivada:
Queremos verificar se essa expressão está de acordo com a Fórmula de Cauchy para a primeira derivada. Na fórmula geral, para $ n = 1 $, temos:
Como $ 1! = 1 $, isso confirma que a expressão dada corresponde à fórmula geral para $ n = 1 $.
Passo 4
Agora, vamos supor que a expressão seja válida para alguma ordem $ n $. Ou seja, assumimos que:
Nosso objetivo é provar que essa fórmula também é válida para $ n + 1 $.
Passo 5
Para fazer essa prova, vamos utilizar o Princípio da Indução Matemática. Já que sabemos que a fórmula é verdadeira para $ n = 1 $, nossa hipótese de indução é que ela vale para um $ n $ arbitrário. Então, queremos mostrar que, se ela vale para $ n $, também vale para $ n + 1 $.
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da hipótese de indução em relação a $ z_0 $.
Passo 6
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar $ \frac{1}{(z - z_0)^{n+1}} $ em relação a $ z_0 $, o que resulta em $ \frac{(n+1)}{(z - z_0)^{n+2}}} $.
Passo 7
Simplificando a expressão derivada do lado direito:
Isso se deve ao fato de que $ n! \cdot (n+1) = (n+1)! $.
Passo 8
Portanto, temos que:
O que mostra que se a fórmula é válida para $ n $, ela também é válida para $ n + 1 $.
Passo 9
Como já confirmamos a validade da fórmula para $ n = 1 $ e mostramos que se ela é válida para um $ n $ qualquer, então é válida para $ n + 1 $, pela indução matemática, concluímos que a fórmula é verdadeira para todo $ n $ natural.
Resposta
Portanto, demonstramos que a derivada de ordem $ n $ da função complexa $ f(z) $ em $ z_0 $ é dada por: