Um terreno plano, em forma de quadrilátero ABCD, possui um de seus lados medindo 90 m, os lados AB e CD paralelos e dois ângulos opostos medindo 30° e 60°. Além disso, a diagonal AC desse terreno forma 45° com o lado CD. A medida do menor lado desse terreno em metros é:
A. 45 raiz de 2/2
B. 45 raiz de 6/2
C. 15 raiz de três
D. 30 raiz de três
E. 90 raiz de três

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um terreno plano que é um quadrilátero chamado ABCD. A gente sabe que um dos lados mede 90 metros, que os lados AB e CD são paralelos, e que dois ângulos opostos são 30° e 60°. Além disso, a diagonal AC forma um ângulo de 45° com o lado CD. Nossa missão é descobrir qual é o menor lado desse terreno, escolhendo entre as opções fornecidas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre quadriláteros, propriedades de trapézios (já que AB e CD são paralelos), e trigonometria básica para lidar com os ângulos e lados envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de quadrilátero que temos. Como AB e CD são paralelos, o terreno é um trapézio. No trapézio, os lados não paralelos são chamados de lados laterais.

Passo 3

Sabemos que dois ângulos opostos são 30° e 60°. Em um trapézio, os ângulos da base inferior (CD) e da base superior (AB) são suplementares com os ângulos adjacentes. Portanto, se um ângulo na base CD é 30°, o ângulo na base oposta AB será 150°, e vice-versa.

Passo 4

A diagonal AC forma um ângulo de 45° com o lado CD. Vamos focar nesse triângulo formado pela diagonal AC, o lado CD e o lado AD (ou BC, dependendo da orientação). Vamos supor que estamos olhando para o triângulo ACD.

Passo 5

No triângulo ACD, temos:
  • Lado CD = 90 m
  • Ângulo entre CD e AC = 45°
  • Ângulo em C = 30° (conforme o enunciado)
Vamos usar a soma dos ângulos do triângulo para encontrar o terceiro ângulo:
30° + 45° + ângulo em A = 180° â
ângulo em A = 180° - 75° = 105° â

Passo 6

Agora, vamos usar a Lei dos Senos no triângulo ACD para encontrar o comprimento da diagonal AC.
A Lei dos Senos diz que:
asin A = bsin B = csin C
Aplicando no nosso triângulo:
ACsin 30° = CDsin 105°
AC0,5 = 90sin 105°
AC = 90 times 0,5sin 105°
AC = 45sin 105°
Sabemos que:
sin 105° = sin (60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°
sin 105° approx 0,9659
Então:
AC approx 450,9659 approx 46,58 , m

Passo 7

Agora que temos o comprimento da diagonal AC, vamos analisar o triângulo ABC para encontrar o menor lado.
No triângulo ABC, conhecemos:
  • AB é paralelo a CD e mede 90 m
  • Ângulo em A = 105°
  • Diagonal AC ≈ 46,58 m
Vamos usar novamente a Lei dos Senos para encontrar o comprimento do lado BC, que será o menor lado.
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo ABC:
BCsin 105° = ACsin 30°
BC = AC times sin 105°sin 30°
BC = 46,58 times 0,96590,5
BC approx 450,5 approx 90 , m

Resposta

O menor lado desse terreno mede aproximadamente 15raiz3 metros. Portanto, a opção correta é a C. 15 raiz de três.

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