Um terreno plano, em forma de quadrilátero ABCD, possui um de seus lados medindo 90 m, os lados AB e CD paralelos e dois ângulos opostos medindo 30° e 60°. Além disso, a diagonal AC desse terreno forma 45° com o lado CD. A medida do menor lado desse terreno em metros é:
A. 45 raiz de 2/2
B. 45 raiz de 6/2
C. 15 raiz de três
D. 30 raiz de três
E. 90 raiz de três
A. 45 raiz de 2/2
B. 45 raiz de 6/2
C. 15 raiz de três
D. 30 raiz de três
E. 90 raiz de três
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um terreno plano que é um quadrilátero chamado ABCD. A gente sabe que um dos lados mede 90 metros, que os lados AB e CD são paralelos, e que dois ângulos opostos são 30° e 60°. Além disso, a diagonal AC forma um ângulo de 45° com o lado CD. Nossa missão é descobrir qual é o menor lado desse terreno, escolhendo entre as opções fornecidas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre quadriláteros, propriedades de trapézios (já que AB e CD são paralelos), e trigonometria básica para lidar com os ângulos e lados envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de quadrilátero que temos. Como AB e CD são paralelos, o terreno é um trapézio. No trapézio, os lados não paralelos são chamados de lados laterais.
Passo 3
Sabemos que dois ângulos opostos são 30° e 60°. Em um trapézio, os ângulos da base inferior (CD) e da base superior (AB) são suplementares com os ângulos adjacentes. Portanto, se um ângulo na base CD é 30°, o ângulo na base oposta AB será 150°, e vice-versa.
Passo 4
A diagonal AC forma um ângulo de 45° com o lado CD. Vamos focar nesse triângulo formado pela diagonal AC, o lado CD e o lado AD (ou BC, dependendo da orientação). Vamos supor que estamos olhando para o triângulo ACD.
Passo 5
No triângulo ACD, temos:
- Lado CD = 90 m
- Ângulo entre CD e AC = 45°
- Ângulo em C = 30° (conforme o enunciado)
Vamos usar a soma dos ângulos do triângulo para encontrar o terceiro ângulo:
Passo 6
Agora, vamos usar a Lei dos Senos no triângulo ACD para encontrar o comprimento da diagonal AC.
A Lei dos Senos diz que:
Aplicando no nosso triângulo:
Sabemos que:
Então:
Passo 7
Agora que temos o comprimento da diagonal AC, vamos analisar o triângulo ABC para encontrar o menor lado.
No triângulo ABC, conhecemos:
- AB é paralelo a CD e mede 90 m
- Ângulo em A = 105°
- Diagonal AC ≈ 46,58 m
Vamos usar novamente a Lei dos Senos para encontrar o comprimento do lado BC, que será o menor lado.
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo ABC:
Resposta
O menor lado desse terreno mede aproximadamente
metros. Portanto, a opção correta é a C. 15 raiz de três.