Considere a função dada por:
f(x, y)=cl (x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Calcule também partial fpartial y(x, y) para os pontos (x, y) neq(0,0). Use isto e o item (a), para analisar a continuidade de partial fpartial x no ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para o ponto e para qualquer outro ponto . O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas parciais e análise de continuidade. Precisamos calcular a derivada parcial de em relação a para pontos diferentes de e, depois, usar isso para analisar a continuidade da derivada parcial de em relação a no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a é a taxa de variação de quando apenas muda, mantendo constante. Isso significa que vamos derivar em relação a .

Passo 3

Aplicando a regra do produto para derivadas, temos duas partes: e . A derivada de em relação a é . Agora, precisamos derivar em relação a .

Passo 4

Para derivar v' = cos(1x^2 + y^2) cdot (-2y(x^2 + y^2)^2) , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto, a derivada parcial de partial fpartial y = u' cdot v + u cdot v' em relação a partial fpartial y = 2y cdot sin(1x^2 + y^2) + (x^2 + y^2) cdot cos(1x^2 + y^2) cdot (-2y(x^2 + y^2)^2) é:
Substituindo , , e :

Passo 6

Simplificando a expressão:
partial fpartial y = 2y sin(1x^2 + y^2) - 2y(x^2 + y^2) cos(1x^2 + y^2)

Passo 7

Agora, precisamos analisar a continuidade da derivada parcial de em relação a no ponto . Para isso, geralmente verificamos se o limite da derivada parcial quando se aproxima de existe e é igual ao valor da derivada no ponto.

Passo 8

Como o exercício menciona usar o item (a), que provavelmente envolvia a continuidade de ou das derivadas parciais, concluímos que a expressão encontrada para mostra comportamentos oscilatórios devido ao seno e cosseno, tornando a continuidade da derivada parcial de em relação a no ponto não garantida.

Resposta

A derivada parcial de partial fpartial y = 2y sin(1x^2 + y^2) - 2yx^2 + y^2 cos(1x^2 + y^2) em relação a para é:
Além disso, a análise mostra que não é contínua no ponto .

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