Em um teste de laboratório, um novo medicamento é eficaz em 80 % dos casos. Em um grupo de 5 pacientes, qual a probabilidade de que exatamente 3 pacientes respondam positivamente ao tratamento?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade! A questão fala sobre um medicamento que funciona em 80% dos casos. Temos 5 pacientes e queremos saber qual a chance de exatamente 3 deles responderem bem ao tratamento. Para isso, vamos usar o conceito de probabilidade binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Probabilidade de sucesso (o medicamento funcionar):
  • Número de pacientes (tentativas):
  • Número de sucessos desejados:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da probabilidade binomial, que nos ajuda a calcular a chance de obter exatamente P(k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k sucessos em tentativas:
Aqui, é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações possíveis.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial binom53 = 5!3! cdot (5 - 3)! = 5 times 42 times 1 = 10 :

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(3) = 10 cdot (0,8)^3 cdot (1 - 0,8)^5 - 3

Passo 6

Calculamos as potências:
(0,8)^3 = 0,512 e (0,2)^2 = 0,04

Passo 7

Multiplicamos todos os termos:
P(3) = 10 cdot 0,512 cdot 0,04 = 10 cdot 0,02048 = 0,2048

Resposta

A probabilidade de exatamente 3 dos 5 pacientes responderem positivamente ao tratamento é de aproximadamente .

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