Em uma urna, há 60 % de chance de retirar uma bola branca. Se retiramos 5 bolas com reposição, qual a probabilidade de que sejam retiradas exatamente 3 bolas brancas?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade! A questão diz que temos uma urna com 60% de chance de retirar uma bola branca. Queremos saber qual a probabilidade de, ao retirar 5 bolas com reposição, exatamente 3 delas serem brancas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade binomial, que é perfeito para situações com ensaios independentes e dois resultados possíveis (neste caso, bola branca ou não branca).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da probabilidade binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente P(k; n, p) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k sucessos em tentativas, onde a probabilidade de sucesso em cada tentativa é . A fórmula é:
Aqui:
  • é o número de combinações de itens tomados de cada vez.
  • é a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos desejados.
  • é a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • binom53 = 5!3! times (5 - 3)! = 5 times 42 times 1 = 10 (número de retiradas)
  • (número de bolas brancas desejadas)
  • (probabilidade de retirar uma bola branca)
Primeiro, precisamos calcular o número de combinações . Isso representa quantas maneiras diferentes podemos escolher 3 bolas brancas em 5 retiradas.

Passo 4

Agora, vamos calcular as probabilidades:
p^k = 0,6^3 = 0,216
(1 - p)^n - k = 0,4^2 = 0,16
Multiplicando tudo junto:
P(3; 5, 0,6) = 10 times 0,216 times 0,16 = 10 times 0,03456 = 0,3456

Resposta

A probabilidade de retirar exatamente 3 bolas brancas em 5 tentativas com reposição é 34,56%.

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