Ao nível de significância de
, teste a hipótese de que os dados seguem uma normal com média 10 e variância 25. (OBS: Usar 4 intervalos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa testar, com 1% de significância, se os dados seguem uma distribuição normal com média 10 e variância 25. Para isso, vamos usar o teste de aderência qui-quadrado com 4 intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste:
- Hipótese nula (H₀): Os dados seguem uma distribuição normal com média 10 e variância 25.
- Hipótese alternativa (H₁): Os dados não seguem essa distribuição normal.
Passo 3
Como a variância é 25, o desvio padrão é 5. Vamos dividir a distribuição normal em 4 intervalos iguais. Para uma distribuição normal, esses intervalos podem ser determinados usando os quartis. Porém, para simplificar, vamos usar intervalos que cobrem a maior parte dos dados esperados.
Passo 4
Vamos calcular os limites dos intervalos. Um jeito comum é usar os valores que cortam a área igualmente entre os intervalos. Mas aqui, para simplificar, podemos usar:
Passo 5
Agora, vamos calcular as probabilidades esperadas para cada intervalo usando a função de distribui��ão acumulada da normal. As probabilidades serão:
Usando a distribuição normal padrão:
Passo 6
Calculando as probabilidades:
Passo 7
Vamos supor que temos um total de
observações. As contagens esperadas para cada intervalo serão:
Passo 8
Calculamos a estatística do teste qui-quadrado:
Onde
são as observações em cada intervalo e
são as esperadas.
Passo 9
Determina o valor crítico da qui-quadrado para 3 graus de liberdade (4 intervalos - 1) e nível de 1%. Consultando a tabela,
.
Passo 10
Comparamos o valor calculado de
com o valor crítico:
- Se
, rejeitamos H₀. - Se
, não rejeitamos H₀.
Resposta
Após calcular a estatística qui-quadrado com os dados fornecidos, se o valor obtido for maior que 11,345, rejeitamos a hipótese nula. Caso contrário, não temos evidências suficientes para rejeitar que os dados seguem uma distribuição normal com média 10 e variância 25.