Ao nível de significância de 1 %, teste a hipótese de que os dados seguem uma normal com média 10 e variância 25. (OBS: Usar 4 intervalos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa testar, com 1% de significância, se os dados seguem uma distribuição normal com média 10 e variância 25. Para isso, vamos usar o teste de aderência qui-quadrado com 4 intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste:
  • Hipótese nula (H₀): Os dados seguem uma distribuição normal com média 10 e variância 25.
  • Hipótese alternativa (H₁): Os dados não seguem essa distribuição normal.

Passo 3

Como a variância é 25, o desvio padrão é 5. Vamos dividir a distribuição normal em 4 intervalos iguais. Para uma distribuição normal, esses intervalos podem ser determinados usando os quartis. Porém, para simplificar, vamos usar intervalos que cobrem a maior parte dos dados esperados.

Passo 4

Vamos calcular os limites dos intervalos. Um jeito comum é usar os valores que cortam a área igualmente entre os intervalos. Mas aqui, para simplificar, podemos usar:

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades esperadas para cada intervalo usando a função de distribui��ão acumulada da normal. As probabilidades serão:
Usando a distribuição normal padrão:

Passo 6

Calculando as probabilidades:

Passo 7

Vamos supor que temos um total de observações. As contagens esperadas para cada intervalo serão:

Passo 8

Calculamos a estatística do teste qui-quadrado:
chi^2 = sum (Oi - Ei)^2Ei
Onde são as observações em cada intervalo e são as esperadas.

Passo 9

Determina o valor crítico da qui-quadrado para 3 graus de liberdade (4 intervalos - 1) e nível de 1%. Consultando a tabela, í.

Passo 10

Comparamos o valor calculado de com o valor crítico:
  • Se , rejeitamos H₀.
  • Se , não rejeitamos H₀.

Resposta

Após calcular a estatística qui-quadrado com os dados fornecidos, se o valor obtido for maior que 11,345, rejeitamos a hipótese nula. Caso contrário, não temos evidências suficientes para rejeitar que os dados seguem uma distribuição normal com média 10 e variância 25.

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