O teto de um veículo possui uma geometria aproximadamente quadrada e plana de
de lado. O teto é constituído de material isolante (
) com uma espessura de 2 cm . A temperatura do ar no ambiente externo é de
condições críticas, o teto recebe um fluxo de calor devido à radiação solar de
. Considere que a temperatura da superfície interna do teto (interior do veículo) deve ser mantida em
por um eficiente sistema de refrigeração. Determine:
b) A temperatura da superfície externa do teto (contato com o meio externo) e a potência necessária para
sistema de refrigeração. Considere que na superfície externa do teto
e o carro viaja a
.
Propriedades do ar no meio externo:
.
b) A temperatura da superfície externa do teto (contato com o meio externo) e a potência necessária para
Propriedades do ar no meio externo:
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada nesse problema de termodinâmica. A gente tem o teto de um carro que é meio quadrado, com 1,5 metros de lado, e é feito de um material isolante. A temperatura interna deve ser mantida em 18°C, enquanto o ar do lado de fora está a 30°C. Além disso, o teto está recebendo calor da radiação solar e o carro está em movimento. A gente precisa descobrir duas coisas: qual é a temperatura da superfície externa do teto e quanta potência o sistema de refrigeração vai precisar para manter tudo isso sob controle.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os tipos de transferência de calor que estão acontecendo aqui. Temos:
- Condução através do teto do carro, que é o calor passando pelo material isolante.
- Convecção na superfície externa do teto, que acontece devido ao ar que está em movimento enquanto o carro está andando.
- Radiação solar, que é o calor que o teto está recebendo diretamente do sol.
A gente vai precisar usar a Lei de Fourier para a condução e a Lei de Resfriamento de Newton para a convecção.
Passo 3
Vamos calcular primeiro a resistência térmica total do sistema. A resistência térmica impede a passagem do calor e é dada por:
Para a condução:
onde:
- $ d $ é a espessura do teto,
- $ k_s $ é a condutividade térmica do material,
- $ A $ é a área do teto.
Para a convecção:
onde:
- $ h $ é o coeficiente de convecção.
No problema, foi dado o valor de $ R_{e_c} = 5 \times 10^{5} $, que é a resistência térmica convectiva. Vamos usar isso diretamente.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área do teto:
A espessura do teto é 2 cm, ou seja, 0,02 m.
Passo 5
Vamos calcular a resistência térmica da condução:
A resistência total $ R_{total} $ será a soma das resistências de condução e convecção:
(Nota: Como $ R_{e_c} $ é muito maior que $ R_{cond} $, a resistência total é praticamente igual a $ R_{e_c} $.)
Passo 6
Agora, vamos considerar o balanço de calor. O calor que entra no carro vem de duas fontes:
- Radiação solar: $ q_{solar} = 1200 , W/m^2 $
- Transferência por condução/convecção: dependente da diferença de temperatura.
A potência total $ Q $ que o sistema de refrigeração precisa remover é a soma dessas duas contribuições multiplicadas pela área:
onde $ \Delta T = T_{externa} - T_{interna} $.
Passo 7
Queremos encontrar a temperatura da superfície externa $ T_e $. Vamos rearranjar a equação para resolver $ T_e $:
Como o sistema de refrigeração deve equilibrar esse calor, podemos igualar a potência necessária ao fluxo de calor total.
Passo 8
Assumindo que o fluxo de calor devido à condução/convecção deve equilibrar a diferença de temperatura:
Mas isso não faz sentido porque há radiação solar.
Na verdade, precisamos incluir a entrada de calor solar para encontrar $ T_e $.
Vamos ajustar a equação:
Para equilíbrio, $ Q = 0 $:
Isso é impossível, indicando que há algo errado na abordagem. Vamos repensar.
Passo 9
Na verdade, o calor solar entra no sistema e o sistema de refrigeração precisa remover tanto esse calor quanto o calor devido à diferença de temperatura.
Então, a potência total a ser removida é:
E essa potência $ Q $ será fornecida pelo sistema de refrigeração para manter a temperatura interna.
Passo 10
Vamos rearranjar para encontrar $ T_e $:
Como $ Q $ também equivale à diferença de temperatura interna e externa:
Isso indica que a potência é praticamente zero, o que não está correto. Parece que precisamos reconsiderar a relação entre os fluxos de calor.
Passo 11
Vamos simplificar:
A potência total a ser removida pelo sistema de refrigeração é a soma do calor solar e do calor conduzido:
Como o sistema mantém a temperatura interna constante, $ Q $ deve ser igual à potência necessária para remover esse calor.
Passo 12
Vamos aisolar $ T_e $:
Supondo que todo o calor seja removido pelo sistema de refrigeração:
Como $ Q $ é a potência necessária, precisamos determinar $ T_e $ que equilibra isso.
Para simplificar, assumimos que a segunda parcela é quase insignificante:
Mas precisamos de mais informações para resolver completamente. Vamos considerar que a superfície externa precisa estar em equilíbrio térmico.
Passo 13
Finalmente, para encontrar a potência necessária do sistema de refrigeração, assumimos que $ T_e $ é próximo de $ T_{externa} $, então:
Portanto, o sistema de refrigeração precisa remover aproximadamente 2700 W para manter a temperatura interna em 18°C.
Resposta
A temperatura da superfície externa do teto é aproximadamente
e a potência necessária para o sistema de refrigeração é de cerca de
.