The shaft at O drives the arm O A at a clockwise speed of 90 rev / min about the fixed bearing at O. Use the method of the instantaneous center of zero velocity to determine the rotational speed of gear B (gear teeth not shown) if ring gear D is fixed.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um eixo em O que está girando uma viga OA no sentido horário a 90 , rpm (rotações por minuto). Temos uma engrenagem B ligada a essa viga, e uma engrenagem anelar D que está fixa, ou seja, não se move. Nosso objetivo é descobrir a velocidade de rotação da engrenagem B usando o método do centro instantâneo de velocidade zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cinemática de corpos rígidos e como aplicar o método do centro instantâneo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centro instantâneo de velocidade zero. É um ponto em um corpo que, em um instante específico, não está se movendo. Esse ponto é super útil para analisar movimentos relativos entre corpos ligados. No nosso caso, como a engrenagem D está fixa, podemos usar esse método para encontrar a velocidade angular de B.

Passo 3

Vamos identificar os pontos importantes no sistema. Temos o ponto O, que é o centro da viga OA, e o ponto onde a engrenagem B está conectada à viga. Como a viga está girando a 90 , rpm no sentido horário, a velocidade linear na ponta da viga onde está a engrenagem B pode ser calculada usando a relação entre velocidade angular e velocidade linear.

Passo 4

A velocidade linear v na ponta da viga OA é dada por:
v = omega times r
onde omega é a velocidade angular em rad/s e r é o comprimento da viga. Primeiro, vamos converter 90 , rpm para rad/s:
omega = 90 times 2pi60 = 3pi , rad/s

Passo 5

Agora, supondo que o comprimento da viga OA seja L, a velocidade linear na ponta é:
v = 3pi times L
Essa é a velocidade com que a engrenagem B está se movendo.

Passo 6

Como a engrenagem D está fixa, a velocidade na interface entre B e D é zero para D. Usando o método do centro instantâneo, sabemos que a velocidade na interface deve ser a mesma para ambas as engrenagens. Portanto, a velocidade linear na borda de B deve ser igual à velocidade linear na borda de B devido à sua própria rotação.

Passo 7

Seja omegaB a velocidade angular de B. A velocidade linear na borda de B é:
v = omegaB times rB
onde rB é o raio da engrenagem B.

Passo 8

Igualando as duas expressões para v:
3pi times L = omegaB times rB
Resolvendo para omegaB:
omegaB = 3pi times LrB

Passo 9

Finalmente, para encontrar a velocidade de rotação de B em rpm, convertemos omegaB de rad/s para rpm:
rpmB = omegaB times 602pi = 3pi times L times 602pi times rB = 180LrB

Resposta

A velocidade de rotação da engrenagem B é 180LrB , rpm.

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