The shaft at
drives the arm
at a clockwise speed of
about the fixed bearing at
. Use the method of the instantaneous center of zero velocity to determine the rotational speed of gear
(gear teeth not shown) if ring gear
is fixed.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um eixo em
que está girando uma viga
no sentido horário a
(rotações por minuto). Temos uma engrenagem
ligada a essa viga, e uma engrenagem anelar
que está fixa, ou seja, não se move. Nosso objetivo é descobrir a velocidade de rotação da engrenagem
usando o método do centro instantâneo de velocidade zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cinemática de corpos rígidos e como aplicar o método do centro instantâneo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o centro instantâneo de velocidade zero. É um ponto em um corpo que, em um instante específico, não está se movendo. Esse ponto é super útil para analisar movimentos relativos entre corpos ligados. No nosso caso, como a engrenagem
está fixa, podemos usar esse método para encontrar a velocidade angular de
.
Passo 3
Vamos identificar os pontos importantes no sistema. Temos o ponto
, que é o centro da viga
, e o ponto onde a engrenagem
está conectada à viga. Como a viga está girando a
no sentido horário, a velocidade linear na ponta da viga onde está a engrenagem
pode ser calculada usando a relação entre velocidade angular e velocidade linear.
Passo 4
A velocidade linear
na ponta da viga
é dada por:
onde
é a velocidade angular em rad/s e
é o comprimento da viga. Primeiro, vamos converter
para rad/s:
Passo 5
Agora, supondo que o comprimento da viga
seja
, a velocidade linear na ponta é:
Essa é a velocidade com que a engrenagem
está se movendo.
Passo 6
Como a engrenagem
está fixa, a velocidade na interface entre
e
é zero para
. Usando o método do centro instantâneo, sabemos que a velocidade na interface deve ser a mesma para ambas as engrenagens. Portanto, a velocidade linear na borda de
deve ser igual à velocidade linear na borda de
devido à sua própria rotação.
Passo 7
Seja
a velocidade angular de
. A velocidade linear na borda de
é:
onde
é o raio da engrenagem
.
Passo 8
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Finalmente, para encontrar a velocidade de rotação de
em rpm, convertemos
de rad/s para rpm:
Resposta
A velocidade de rotação da engrenagem
é
.