The large roller bearing rolls to the left on its outer race with a velocity of its center O of 0.9 m / s. At the same time the central shaft and inner race rotate counterclockwise with an angular speed of 240 rev / min. Determine the angular velocity omega of each of the rollers.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá pegando aqui. A gente tem um rolamento grande rolando para a esquerda com a velocidade do centro dele, o ponto $ O $, sendo 0,9 m/s. Ao mesmo tempo, o eixo central e a parte interna do rolamento estão girando no sentido anti-horário com uma velocidade angular de 240 rotações por minuto. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade angular $ \omega $ de cada um dos roletes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento circular e como combinar a rotação com o movimento de translação.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular do eixo central de rotações por minuto para radianos por segundo, porque isso facilita os cálculos. Sabemos que uma rotação completa é $ 2\pi $ radianos e que há 60 segundos em um minuto.
2pi

Passo 3

Agora, vamos entender o movimento do rolamento. Ele está rolando para a esquerda com uma velocidade linear $ v = 0,9 , m/s $ e, ao mesmo tempo, girando devido à rotação do eixo central. A velocidade angular dos roletes $ \omega $ será a combinação da rotação causada pelo movimento do rolamento e pela rotação do eixo central.

Passo 4

A relação entre a velocidade linear $ v $ e a velocidade angular $ \omega $ para um objeto rolando sem deslizar é dada por:
v
Onde $ R $ é o raio do rolamento. Como não temos o valor de $ R $, vamos considerar que as duas contribuições para a rotação dos roletes (uma pela translação do rolamento e outra pela rotação do eixo central) se somam ou se subtraem, dependendo das direções.

Passo 5

Como o rolamento está se movendo para a esquerda e o eixo central está girando no sentido anti-horário, a rotação causada pela translação será no sentido oposto à rotação causada pelo eixo central. Então, a velocidade angular total dos roletes será:
omega = vR - Omega

Passo 6

Mas, como não temos o valor de $ R $, vamos assumir que o rolamento está rolando sem deslizar, o que nos permite relacionar $ v $ e $ \omega $ diretamente. Então:
R
Como a rotação do eixo central também contribui para a rotação dos roletes, a velocidade angular final será:
v

Resposta

A velocidade angular de cada um dos roletes é $ \omega = \frac{0,9}{R} + 8\pi $ rad/s.

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