Um time de futebol ganha cada partida com probabilidade 0,6 . Qual a probabilidade de que, em 8 jogos, o time vença exatamente 5?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado diz que um time de futebol tem uma chance de 60% (ou seja, 0,6) de ganhar cada partida. Queremos descobrir qual é a probabilidade de esse time vencer exatamente 5 jogos em um total de 8 partidas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que nos ajuda a calcular a chance de um evento ocorrer um certo número de vezes em várias tentativas, quando cada tentativa é independente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da probabilidade binomial. A probabilidade de obter exatamente P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k sucessos em tentativas é dada por:
Onde:
  • é o número de combinações de elementos tomados a .
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é a probabilidade de falha em uma única tentativa.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos no problema:
  • Número total de jogos ( ): 8
  • Número de vitórias desejadas ( ): 5
  • Probabilidade de vitória em um jogo ( ): 0,6

Passo 4

Primeiro, calculamos C(n, k) = n!k! times (n - k)! , que é o número de maneiras de escolher 5 vit��rias em 8 jogos. A fórmula para combinações é:
C(8, 5) = 8!5! times (8 - 5)! = 40320120 times 6 = 40320720 = 56
Calculando:

Passo 5

Agora, vamos calcular p^k = 0,6^5 approx 0,07776 :
(1 - p)^n - k = 0,4^3 = 0,064
E :

Passo 6

Por fim, aplicamos todos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(X = 5) = 56 times 0,07776 times 0,064
Vamos multiplicar passo a passo:
56 times 0,07776 = 4,35456
4,35456 times 0,064 approx 0,278

Resposta

A probabilidade de o time vencer exatamente 5 dos 8 jogos é aproximadamente 27,8%.

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