Toma-se um fluido de alta massa específica e viscosidade escoando na direção vertical (
) em velocidade baixíssima. As seguintes premissas são feitas para este escoamento:
- Escoamento incompressível em regime permanente; - Escoamento unidimensional e unidirecional; - Ausência de efeitos convectivos e de gradientes de pressão.
Baseado nestas premissas, simplifique a componente
da equação de Navier-Stokes e determine o campo de velocidade a partir da simplificação.
Baseado nestas premissas, simplifique a componente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluido com alta massa específica e viscosidade que está fluindo na direção vertical (eixo
) com uma velocidade bem baixa. As premissas que a gente vai usar são:
- Escoamento incompressível e em regime permanente.
- Escoamento unidimensional e unidirecional.
- Sem efeitos convectivos e gradientes de pressão.
Vamos usar essas informações para simplificar a componente
da equação de Navier-Stokes e achar o campo de velocidade desse fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Navier-Stokes. Ela descreve o movimento de fluidos e, em coordenadas cartesianas, a componente
é dada por:
Onde:
-
é a densidade do fluido. -
são as componentes da velocidade. -
é a pressão. -
é a viscosidade.
Passo 3
Como o escoamento é incompressível e em regime permanente (
), além disso, é unidimensional e unidirecional. Isso significa que as componentes de velocidade
e
são zero e
só depende de
. Então, nossa equação vai simplificar bastante.
Passo 4
Aplicando essas simplificações:
-
-
-
só depende de , então
Substituindo na equação de Navier-Stokes:
Passo 5
Agora temos uma equação mais simples:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem para
. Para resolver, precisamos integrar duas vezes em relação a
.
Passo 6
Integrando uma vez:
Integrando de novo:
Mas, na verdade, a integração correta seria:
Após a primeira integração:
Assumindo que a pressão
é constante (já que não há gradiente de pressão mencionado além do que já consideramos), então
:
Integrando novamente:
Passo 7
Para determinar a constante de integração
, precisamos de condições de contorno. Supondo que na parede (por exemplo,
) a velocidade seja zero (condição de não deslizamento):
Resposta
Assim, o campo de velocidade simplificado é: