Toma-se um fluido de alta massa específica e viscosidade escoando na direção vertical ( x2) em velocidade baixíssima. As seguintes premissas são feitas para este escoamento:
  • Escoamento incompressível em regime permanente; - Escoamento unidimensional e unidirecional; - Ausência de efeitos convectivos e de gradientes de pressão.
    Baseado nestas premissas, simplifique a componente x2 da equação de Navier-Stokes e determine o campo de velocidade a partir da simplificação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluido com alta massa específica e viscosidade que está fluindo na direção vertical (eixo x2) com uma velocidade bem baixa. As premissas que a gente vai usar são:
  • Escoamento incompressível e em regime permanente.
  • Escoamento unidimensional e unidirecional.
  • Sem efeitos convectivos e gradientes de pressão.
Vamos usar essas informações para simplificar a componente x2 da equação de Navier-Stokes e achar o campo de velocidade desse fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Navier-Stokes. Ela descreve o movimento de fluidos e, em coordenadas cartesianas, a componente x2 é dada por:
rho ( partial u2partial t + u1 partial u2partial x1 + u2 partial u2partial x2 + u3 partial u2partial x3 ) = -partial ppartial x2 + mu ( partial^2 u2partial x1^2 + partial^2 u2partial x2^2 + partial^2 u2partial x3^2 )
Onde:
  • rho é a densidade do fluido.
  • u1, u2, u3 são as componentes da velocidade.
  • p é a pressão.
  • mu é a viscosidade.

Passo 3

Como o escoamento é incompressível e em regime permanente ( partial u2partial t = 0), além disso, é unidimensional e unidirecional. Isso significa que as componentes de velocidade u1 e u3 são zero e u2 só depende de x2. Então, nossa equação vai simplificar bastante.

Passo 4

Aplicando essas simplificações:
  • u1 = u3 = 0
  • partial u2partial t = 0
  • u2 só depende de x2, então partial u2partial x1 = partial u2partial x3 = 0
Substituindo na equação de Navier-Stokes:
0 = -partial ppartial x2 + mu partial^2 u2partial x2^2

Passo 5

Agora temos uma equação mais simples:
mu d^2 u2d x2^2 = d pd x2
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem para u2. Para resolver, precisamos integrar duas vezes em relação a x2.

Passo 6

Integrando uma vez:
mu d u2d x2 = p + C1
Integrando de novo:
mu u2 = p x2 + C1 x2 + C2
Mas, na verdade, a integração correta seria:
Após a primeira integração:
mu d u2d x2 = p + C1
Assumindo que a pressão p é constante (já que não há gradiente de pressão mencionado além do que já consideramos), então C1 = 0:
d u2d x2 = pmu
Integrando novamente:
u2 = pmu x2 + C2

Passo 7

Para determinar a constante de integração C2, precisamos de condições de contorno. Supondo que na parede (por exemplo, x2 = 0) a velocidade seja zero (condição de não deslizamento):
u2(0) = 0 = pmu cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = 0

Resposta

Assim, o campo de velocidade simplificado é:
u2(x2) = pmu x2

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