Deseja-se estudar um determinado escoamento turbulento. Na observação da evolução do escoamento, notou-se que as pequenas escalas se desenvolvem preferencialmente na coordenada x2 e as grandes escalas se desenvolvem preferencialmente na coordenada x3 de acordo com um comprimento característico L. Notou-se também que o escoamento se desenvolve de tal forma que todas as derivadas nesta direção são muito menores que as derivadas em x2 e x3. Baseado nestas informações, simplifique a componente x3 da equação de Navier-Stokes admitindo escoamento incompressível, em regime permanente, sem forças de campo e gradientes de pressão.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está estudando um escoamento turbulento onde as pequenas escalas ocorrem mais na direção $ x_{2} $ e as grandes escalas na direção $ x_{3} $, com um comprimento característico $ L $. Além disso, as derivadas em relação à direção $ x_{1} $ são bem menores que em $ x_{2} $ e $ x_{3} $. Nosso objetivo é simplificar a componente $ x_{3} $ da equação de Navier-Stokes, assumindo que o escoamento é incompressível, está em regime permanente, sem forças de campo e sem gradientes de pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Navier-Stokes para um escoamento incompressível. Ela descreve como a velocidade de um fluido muda no espaço e no tempo. A equação geral para a componente $ x_{3} $ é:
x3
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do fluido
  • $ u_j $ são as componentes da velocidade
  • $ p $ é a pressão
  • $ \mu $ é a viscosidade
  • A soma sobre $ j $ é implícita (somatório sobre todas as direções espaciais)

Passo 3

Como o escoamento está em regime permanente, isso significa que as propriedades do fluxo não mudam com o tempo. Portanto, a derivada temporal $ \frac{\partial u_3}{\partial t} $ vai ser zero:
partial u3partial t

Passo 4

A questão também diz que não há gradientes de pressão, ou seja, $ \frac{\partial p}{\partial x_3} = 0 $. Então, a equação fica:
partial ppartial x3 = 0

Passo 5

Agora, sabemos que as derivadas em relação à direção $ x_{1} $ são muito menores que nas direções $ x_{2} $ e $ x_{3} $. Isso significa que podemos desprezar qualquer termo envolvendo derivadas em $ x_{1} $. Assim, no somatório sobre $ j $, só consideramos $ j = 2 $ e $ j = 3 $:
x1

Passo 6

Além disso, a observação diz que as pequenas escalas se desenvolvem em $ x_{2} $ e as grandes em $ x_{3} $, com um comprimento característico $ L $. Geralmente, em turbulência, as derivadas segundas são mais importantes nas direções onde as escalas são menores, pois há mais variação. Porém, como estamos simplificando, podemos manter ambas as derivadas, mas focar na direção $ x_{3} $.

Passo 7

Portanto, a componente $ x_{3} $ da equação de Navier-Stokes simplificada fica:
x3

Resposta

A componente $ x_{3} $ da equação de Navier-Stokes simplificada é:
x3

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