Deseja-se estudar um determinado escoamento turbulento. Na observação da evolução do escoamento, notou-se que as pequenas escalas se desenvolvem preferencialmente na coordenada
e as grandes escalas se desenvolvem preferencialmente na coordenada
de acordo com um comprimento característico
. Notou-se também que o escoamento se desenvolve de tal forma que todas as derivadas nesta direção são muito menores que as derivadas em
e
. Baseado nestas informações, simplifique a componente
da equação de Navier-Stokes admitindo escoamento incompressível, em regime permanente, sem forças de campo e gradientes de pressão.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está estudando um escoamento turbulento onde as pequenas escalas ocorrem mais na direção $ x_{2} $ e as grandes escalas na direção $ x_{3} $, com um comprimento característico $ L $. Além disso, as derivadas em relação à direção $ x_{1} $ são bem menores que em $ x_{2} $ e $ x_{3} $. Nosso objetivo é simplificar a componente $ x_{3} $ da equação de Navier-Stokes, assumindo que o escoamento é incompressível, está em regime permanente, sem forças de campo e sem gradientes de pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Navier-Stokes para um escoamento incompressível. Ela descreve como a velocidade de um fluido muda no espaço e no tempo. A equação geral para a componente $ x_{3} $ é:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade do fluido
- $ u_j $ são as componentes da velocidade
- $ p $ é a pressão
- $ \mu $ é a viscosidade
- A soma sobre $ j $ é implícita (somatório sobre todas as direções espaciais)
Passo 3
Como o escoamento está em regime permanente, isso significa que as propriedades do fluxo não mudam com o tempo. Portanto, a derivada temporal $ \frac{\partial u_3}{\partial t} $ vai ser zero:
Passo 4
A questão também diz que não há gradientes de pressão, ou seja, $ \frac{\partial p}{\partial x_3} = 0 $. Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, sabemos que as derivadas em relação à direção $ x_{1} $ são muito menores que nas direções $ x_{2} $ e $ x_{3} $. Isso significa que podemos desprezar qualquer termo envolvendo derivadas em $ x_{1} $. Assim, no somatório sobre $ j $, só consideramos $ j = 2 $ e $ j = 3 $:
Passo 6
Além disso, a observação diz que as pequenas escalas se desenvolvem em $ x_{2} $ e as grandes em $ x_{3} $, com um comprimento característico $ L $. Geralmente, em turbulência, as derivadas segundas são mais importantes nas direções onde as escalas são menores, pois há mais variação. Porém, como estamos simplificando, podemos manter ambas as derivadas, mas focar na direção $ x_{3} $.
Passo 7
Portanto, a componente $ x_{3} $ da equação de Navier-Stokes simplificada fica:
Resposta
A componente $ x_{3} $ da equação de Navier-Stokes simplificada é: