As equações da continuidade e de Navier-Stokes podem ser escritas para escoamento interno laminar plenamente desenvolvido bidimensional no interior de dutos de seção circular em coordenadas cartesianas. Neste caso, a literatura mostra que os resultados obtidos são similares aos deduzidos usando coordenadas cilíndricas. Baseado nesta assertiva:
Através de análise de escala da equação da continuidade (Divergente do campo de velocidade igual a zero), mostre que, se o comprimento do tubo
for muito maior que seu diâmetro
, e a velocidade na direção radial for muito menor que 1, então a equação da continuidade será reduzida para:
Através de análise de escala da equação da continuidade (Divergente do campo de velocidade igual a zero), mostre que, se o comprimento do tubo
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem as equações da continuidade e de Navier-Stokes para um escoamento interno laminar, totalmente desenvolvido e bidimensional em tubos circulares, mas escritas em coordenadas cartesianas. A afirmação é que os resultados são parecidos com os obtidos usando coordenadas cilíndricas. Nosso objetivo aqui é fazer uma análise de escala da equação da continuidade para mostrar que, se o comprimento do tubo $ L $ for muito maior que o diâmetro $ D $ e a velocidade na direção radial for bem menor que 1, a equação da continuidade simplifica para:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a equação da continuidade e como aplicar a análise de escala nela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da continuidade para um fluxo incompressível em coordenadas cartesianas. Ela é dada por:
Aqui, $ u_x $ é a velocidade na direção $ x $ (longitudinal) e $ u_y $ é a velocidade na direção $ y $ (radial).
Passo 3
Agora, vamos aplicar a análise de escala. Isso significa que vamos identificar quais termos na equação são mais importantes com base nas proporções entre as variáveis envolvidas.
Sabemos que:
- O comprimento do tubo $ L $ é muito maior que o diâmetro $ D $ ($ L \gg D $).
- A velocidade na direção radial $ u_y $ é muito menor que a velocidade longitudinal $ u_x $ ($ u_y \ll u_x $).
Vamos introduzir um fator de escala $ \epsilon $, onde $ \epsilon = \frac{D}{L} $ e é muito pequeno ($ \epsilon \ll 1 $).
Passo 4
Com isso, podemos dimensionar as derivadas e as velocidades:
-
-
- $ u_x \sim U $ (velocidade característica na direção longitudinal)
- $ u_y \sim \epsilon U $ (velocidade característica na direção radial, que é menor)
Passo 5
Substituindo essas escalas na equação da continuidade:
Mas na verdade, como $ u_y $ é muito menor que $ u_x $, o termo $ \frac{\partial u_y}{\partial y} $ domina a equação.
Passo 6
Isso significa que:
Portanto, na equação da continuidade, podemos negligenciar o termo $ \frac{\partial u_x}{\partial x} $:
Resposta
Assim, através da análise de escala considerando $ L \gg D $ e $ u_y \ll u_x $, a equação da continuidade se reduz para: