As equações da continuidade e de Navier-Stokes podem ser escritas para escoamento interno laminar plenamente desenvolvido bidimensional no interior de dutos de seção circular em coordenadas cartesianas. Neste caso, a literatura mostra que os resultados obtidos são similares aos deduzidos usando coordenadas cilíndricas. Baseado nesta assertiva:
Através de análise de escala da equação da continuidade (Divergente do campo de velocidade igual a zero), mostre que, se o comprimento do tubo L for muito maior que seu diâmetro D, e a velocidade na direção radial for muito menor que 1, então a equação da continuidade será reduzida para:
partial u1partial x1=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem as equações da continuidade e de Navier-Stokes para um escoamento interno laminar, totalmente desenvolvido e bidimensional em tubos circulares, mas escritas em coordenadas cartesianas. A afirmação é que os resultados são parecidos com os obtidos usando coordenadas cilíndricas. Nosso objetivo aqui é fazer uma análise de escala da equação da continuidade para mostrar que, se o comprimento do tubo $ L $ for muito maior que o diâmetro $ D $ e a velocidade na direção radial for bem menor que 1, a equação da continuidade simplifica para:
L
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a equação da continuidade e como aplicar a análise de escala nela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da continuidade para um fluxo incompressível em coordenadas cartesianas. Ela é dada por:
partial uxpartial x + partial uypartial y = 0
Aqui, $ u_x $ é a velocidade na direção $ x $ (longitudinal) e $ u_y $ é a velocidade na direção $ y $ (radial).

Passo 3

Agora, vamos aplicar a análise de escala. Isso significa que vamos identificar quais termos na equação são mais importantes com base nas proporções entre as variáveis envolvidas.
Sabemos que:
  • O comprimento do tubo $ L $ é muito maior que o diâmetro $ D $ ($ L \gg D $).
  • A velocidade na direção radial $ u_y $ é muito menor que a velocidade longitudinal $ u_x $ ($ u_y \ll u_x $).
Vamos introduzir um fator de escala $ \epsilon $, onde $ \epsilon = \frac{D}{L} $ e é muito pequeno ($ \epsilon \ll 1 $).

Passo 4

Com isso, podemos dimensionar as derivadas e as velocidades:
  • partialpartial x sim 1L
  • partialpartial y sim 1D = 1epsilon L
  • $ u_x \sim U $ (velocidade característica na direção longitudinal)
  • $ u_y \sim \epsilon U $ (velocidade característica na direção radial, que é menor)

Passo 5

Substituindo essas escalas na equação da continuidade:
partial uxpartial x + partial uypartial y sim UL + epsilon UD = UL + epsilon Uepsilon L = UL + UL = 2UL
Mas na verdade, como $ u_y $ é muito menor que $ u_x $, o termo $ \frac{\partial u_y}{\partial y} $ domina a equação.

Passo 6

Isso significa que:
partial uypartial y gg partial uxpartial x
Portanto, na equação da continuidade, podemos negligenciar o termo $ \frac{\partial u_x}{\partial x} $:
partial uxpartial x

Resposta

Assim, através da análise de escala considerando $ L \gg D $ e $ u_y \ll u_x $, a equação da continuidade se reduz para:
L gg D

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