Em um tonel circular de diâmetro de 1,2 m um furo de de diâmetro a uma profundidade de 85 cm ficou aberto por 12 minutos. Qual foi o volume de água perdida? Considere a vazão variável com a altura da coluna de água no tonel, no decorrer do tempo.
Passo 1
Então, a gente tem um tonel redondo com diâmetro de 1,2 metros. Tem um furo de 0,6 cm de diâmetro, que está a 85 cm do fundo. Esse furo ficou aberto por 12 minutos, e a gente quer saber quanto de água saiu desse tonel nesse tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao fluxo de líquidos, especificamente a Lei de Torricelli, e fazer alguns cálculos com geometria e cálculo para considerar que o fluxo de água muda conforme o nível da água no tonel diminui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Torricelli. Ela nos diz que a velocidade com que a água sai por um furo é proporcional à raiz quadrada da altura da coluna de água acima do furo. A fórmula é:
Onde:
é a velocidade da água,
é a aceleração da gravidade (),
é a altura da água acima do furo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a área do furo pelo qual a água está saindo. O diâmetro do furo é 0,6 cm, que vamos converter para metros:
A área do furo é dada por:
Passo 4
O tonel tem diâmetro de 1,2 metros, então o raio é 0,6 metros. A área da base do tonel é:
Passo 5
Sabemos que a taxa de variação do volume da água no tonel é igual à velocidade da água vezes a área do furo:
Como o volume também é , podemos escrever:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados, onde a altura inicial é e o tempo final é :
Passo 7
Resolvendo para :
Calculando os valores numéricos:
Passo 8
Agora, para encontrar o volume de água perdida, calculamos a diferença entre o volume inicial e o final: