Em um tonel circular de diâmetro de 1,2 m um furo de 0,6 cm de diâmetro a uma profundidade de 85 cm ficou aberto por 12 minutos. Qual foi o volume de água perdida? Considere a vazão variável com a altura da coluna de água no tonel, no decorrer do tempo.

Passo 1

Então, a gente tem um tonel redondo com diâmetro de 1,2 metros. Tem um furo de 0,6 cm de diâmetro, que está a 85 cm do fundo. Esse furo ficou aberto por 12 minutos, e a gente quer saber quanto de água saiu desse tonel nesse tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao fluxo de líquidos, especificamente a Lei de Torricelli, e fazer alguns cálculos com geometria e cálculo para considerar que o fluxo de água muda conforme o nível da água no tonel diminui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Torricelli. Ela nos diz que a velocidade com que a água sai por um furo é proporcional à raiz quadrada da altura da coluna de água acima do furo. A fórmula é:
v = raiz2gh
Onde:
  • é a velocidade da água,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura da água acima do furo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a área do furo pelo qual a água está saindo. O diâmetro do furo é 0,6 cm, que vamos converter para metros:
d = 0,6 , cm = 0,006 , m
A área A = pi ( d2 )^2 = pi ( 0,0062 )^2 approx 2,827 times 10^-5 , m^2 do furo é dada por:

Passo 4

O tonel tem diâmetro de 1,2 metros, então o raio Atonel = pi R^2 = pi (0,6)^2 approx 1,131 , m^2 é 0,6 metros. A área da base do tonel é:

Passo 5

Sabemos que a taxa de variação do volume da água no tonel é igual à velocidade da água vezes a área do furo:
dVdt = A cdot v = A cdot raiz2gh
Como o volume d(Atonel h)dt = -A cdot raiz2gh também é Atonel dhdt = -A cdot raiz2gh , podemos escrever:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis dhraizh = -A raiz2gAtonel dt e 2raizh g|h0^h = -A raiz2gAtonel t :
Integrando ambos os lados, onde a altura inicial é e o tempo final é :

Passo 7

Resolvendo para 2raizh - 2raiz0,85 = -A raiz2gAtonel cdot 720 :
2raizh = 2raiz0,85 - 2,827 times 10^-5 cdot raiz2 cdot 9,811,131 cdot 720
Calculando os valores numéricos:
2raizh approx 2 cdot 0,92195 - 2,827 times 10^-5 cdot 4,431,131 cdot 720
2raizh approx 1,8439 - 1,252 times 10^-41,131 cdot 720
2raizh approx 1,8439 - 0,0796
2raizh approx 1,7643
raizh approx 0,8821
h approx 0,7786 , m

Passo 8

Agora, para encontrar o volume de água perdida, calculamos a diferença entre o volume inicial e o final:
Vperdido = Atonel (h0 - h) = 1,131 times (0,85 - 0,7786)
Vperdido approx 1,131 times 0,0714
Vperdido approx 0,0807 , m^3

Resposta

O volume de água perdida foi aproximadamente .

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