Em um torneio de tênis, cada jogador foi escalado para jogar contra cada um dos outros jogadores uma única vez. Entretanto, durante o evento, três jogadores desistiram do torneio. Sabemos que cada um dos desistentes jogou duas partidas. Se o torneio teve exatamente 50 jogos, quantos jogadores começaram o torneio?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14​

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um torneio de tênis onde cada jogador deveria enfrentar todos os outros uma vez. Porém, três jogadores desistiram depois de jogar duas partidas cada. O total de jogos que rolou foi 50. Nosso objetivo é descobrir quantos jogadores começaram o torneio. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de combinatória, especificamente a fórmula de combinações, para calcular o número de partidas possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas partidas teriam acontecido se ninguém tivesse desistido. Em um torneio onde cada jogador joga contra todos os outros uma vez, o número de partidas é dado pela combinação de $ n $ jogadores tomados 2 a 2, ou seja:
n
Aqui, $ n $ é o número total de jogadores que começaram o torneio.

Passo 3

Agora, como três jogadores desistiram após jogar duas partidas cada, precisamos calcular quantas partidas foram canceladas por causa dessas desistências. Cada jogador que desistiu teria, originalmente, $ n - 1 $ partidas (uma contra cada outro jogador). Como eles jogaram apenas duas partidas, cada um cancelou $ n - 3 $ partidas:
n - 1
Como são três jogadores desistentes:
n - 3

Passo 4

Então, o número de partidas que realmente aconteceram no torneio é o total de partidas possíveis menos as partidas canceladas:
n(n - 1)2 - 3(n - 3) = 50
Vamos resolver essa equação para encontrar $ n $.

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
n(n - 1) - 6(n - 3) = 100
Expandindo os termos:
n^2 - n - 6n + 18 = 100
Simplificando:
n^2 - 7n + 18 = 100
Subtraindo 100 de ambos os lados:
n^2 - 7n - 82 = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ n^2 - 7n - 82 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
n^2 - 7n - 82 = 0
Calculando a raiz quadrada:
n = 7 pm raiz49 + 3282 = 7 pm raiz3772
Então:
raiz377 approx 19,42
Como o número de jogadores precisa ser inteiro, arredondamos para o número mais próximo que faz sentido no contexto.

Resposta

D) 13

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