Em um torneio de tênis, cada jogador foi escalado para jogar contra cada um dos outros jogadores uma única vez. Entretanto, durante o evento, três jogadores desistiram do torneio. Sabemos que cada um dos desistentes jogou duas partidas. Se o torneio teve exatamente 50 jogos, quantos jogadores começaram o torneio?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um torneio de tênis onde cada jogador deveria enfrentar todos os outros uma vez. Porém, três jogadores desistiram depois de jogar duas partidas cada. O total de jogos que rolou foi 50. Nosso objetivo é descobrir quantos jogadores começaram o torneio. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de combinatória, especificamente a fórmula de combinações, para calcular o número de partidas possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas partidas teriam acontecido se ninguém tivesse desistido. Em um torneio onde cada jogador joga contra todos os outros uma vez, o número de partidas é dado pela combinação de $ n $ jogadores tomados 2 a 2, ou seja:
Aqui, $ n $ é o número total de jogadores que começaram o torneio.
Passo 3
Agora, como três jogadores desistiram após jogar duas partidas cada, precisamos calcular quantas partidas foram canceladas por causa dessas desistências. Cada jogador que desistiu teria, originalmente, $ n - 1 $ partidas (uma contra cada outro jogador). Como eles jogaram apenas duas partidas, cada um cancelou $ n - 3 $ partidas:
Como são três jogadores desistentes:
Passo 4
Então, o número de partidas que realmente aconteceram no torneio é o total de partidas possíveis menos as partidas canceladas:
Vamos resolver essa equação para encontrar $ n $.
Passo 5
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Subtraindo 100 de ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ n^2 - 7n - 82 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando a raiz quadrada:
Então:
Como o número de jogadores precisa ser inteiro, arredondamos para o número mais próximo que faz sentido no contexto.
Resposta
D) 13