O touro de Fálaris foi a máquina de tortura mais terrivel da história da humanidade. De acordo com o wikipédia, o aparelho era uma esfinge de bronze oca na forma de um touro mugindo, com duas aberturas, no dorso e na parte frontal localizada na boca. No interior havia um canal desenvolvido semelhante à válvula móvel de uma trompete, que ligava a boca ao interior do Touro. Após colocada a vítima, a entrada da esfinge era fechada e posta sobre uma fogueira. À medida que a temperatura aumentava no interior do Touro,
ar ficava escasso, e o executado procuraria meios para respirar, recorrendo ao orifício na extremidade do canal. Os gritos exaustivos do executado saíam pela boca do Touro, fazendo parecer que a esfinge estava viva. Desenvolva uma expressão matemática para descrever a distribuição de temperatura no touro de bronze e no pobre coitado no interior desta horrível máquina.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre criar uma expressão matemática que descreva como a temperatura se distribui dentro do touro de bronze e no interior onde está a pessoa. Isso envolve conceitos de Transferência de Calor e Distribuição de Temperatura. Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor se propaga no metal e como isso afeta o ambiente interno da máquina.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que o touro de bronze está sendo aquecido por uma fogueira. O calor da fogueira vai transferir para o bronze através de condução térmica. A transferência de calor por condução pode ser descrita pela Equação de Condução de Calor:
Aqui, $ T $ é a temperatura, $ t $ é o tempo, e $ \alpha $ é a difusividade térmica do bronze.
Passo 3
Agora, vamos pensar na distribuição de temperatura dentro do touro. Supondo que o touro tem uma geometria simples, como uma esfera para facilitar os cálculos, a equação de condução de calor em coordenadas esféricas fica assim:
Onde $ r $ é a distância do centro da esfera.
Passo 4
Além disso, precisamos considerar o calor que está sendo transferido da fogueira para o touro. Isso pode ser modelado como uma condição de contorno na superfície do touro. Se a superfície do touro tem radiação ou convecção com o ambiente externo, podemos expressar isso como:
Aqui, $ k $ é a condutividade térmica do bronze, $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção, $ R $ é o raio do touro, e $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente.
Passo 5
Agora, dentro do touro, há um canal que liga a boca ao interior onde está a vítima. A temperatura no interior também será afetada pela transferência de calor através desse canal. Podemos modelar isso adicionando uma fonte de calor interna na equação, que representa o calor da fogueira e a temperatura interna devido ao processo de aquecimento.
Passo 6
Para descrever a distribuição de temperatura dentro da cavidade onde está a vítima, podemos considerar que o ar está sendo aquecido e expandido, o que pode ser modelado pela Equação de Estado dos Gases combinada com a transferência de calor. A equação se torna mais complexa, envolvendo tanto a condução no metal quanto a convecção no ar interno.
Passo 7
Finalmente, juntando tudo isso, a expressão matemática completa para a distribuição de temperatura $ T(r,t) $ no touro de bronze e no interior onde está a vítima pode ser escrita como uma solução conjunta das equações de condução e convecção, considerando as condições de contorno apropriadas.
Resposta
A distribuição de temperatura no touro de bronze e no interior onde está a vítima é descrita pela solução da equação de condução de calor em coordenadas esféricas com as condições de contorno adequadas, dada por:
com as condições de contorno:
Essa expressão modela como a temperatura se distribui ao longo do tempo dentro do touro de bronze e afeta a região interna onde está a vítima.